Enunciado

Nos exercícios de 2 a 15 :

  1. Determine os traços
  2. Determine as seções
  3. Identifique a superfície quadrica
  4. Esboce os gráficos

8.

x 2 + z 2 = 1

0 ≤ y ≤ 1

Passo 1

Oii, neste capitulo vamos usar tudo o que sabemos de Geometria Analitica. Vamos arregaçar as mangas e rabiscar bastante no caderno. Vamos lembrar de algumas coisas basicas. Podemos expressar formar geometricas atraves de equações matematicas. E cada equação, mesmo que mude apenas um sinal de + ou – , vai nos dizer um comportamento geometrico diferente. POr exemplo temos essas equações

y = a x 2 → Parábola

x 2 + y 2 = a 2 → Circulo

Agora se colocarmos um fator multiplicando x ou y esse circulo vai se achatar ficando oval. Chamamos isso de elipse. Voce pode encontrar essa forma sob os seguintes formatos

a x 2 + b y 2 = c

Ou,

x α 2 + y β 2 = 1

Onde no segundo caso vemos de forma mais clara os raios de x e y. O raio de x será a e o raio de y será b .

Agora, se trocarmos o sinal da equação geral da elispse, obtemos uma hiperbole. Voce pode encontrar essa forma sob os seguintes formatos

a x 2 - b y 2 = c

Ou,

x α 2 - y β 2 = 1

É interessante notar que se botarmos num mesmo plano as equações

x α 2 - y β 2 = 1

e

x α 2 + y β 2 = 1

Vemos o seguinte resultado

É como se o sinal forçasse a concavidade das curvas virar para dentro ou para fora. Para dentro elas se unem numa elipse e para fora as curvas explodem para infinito dando forma as hiperboles.

Passo 2

Quando o exercício pede traços ele quer que vejamos as imagens dessa função quadrica nos 3 planos coordenados: XY , XZ ,YZ. E com isso a gente conseguir formar imagens mais nítidas de como nossa quadrica deve ser. Vamos cair dentro então. Temos a função

x 2 + z 2 = 1

Que no plano XY, onde que z = 0 podemos ver

x 2 = 1

Que é um conjunto de dois ponto. x = 1   e x =   - 1

No plano XZ temos que y = 0

x 2 + z 2 = 1

Ou seja, temos um circulo.  

JÁ no plano YZ , temos que x = 0

z 2 = 1

Ou seja, é um conjunto de dois pontos, z = 1 e z =   - 1

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

Que no plano XY, onde que z = 0 podemos ver

x 2 = 1

Que é um conjunto de dois ponto. x = 1   e x =   - 1

No plano XZ temos que y = 0

x 2 + z 2 = 1

Ou seja, temos um circulo.  

JÁ no plano YZ , temos que x = 0

z 2 = 1

Ou seja, é um conjunto de dois pontos, z = 1 e z =   - 1

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Determine os traços: x 2 + y 2 + z 2 = 1 , y ≤ 0
Determine as seções: x 2 + y 2 + z 2 = 1 , y ≤ 0
Escreva a equação e identifique a seção de cada superfície quadrica no plano indicado 2 x 2 + 3 y 2 + z 2 = 6 x = 1
Mostre que a projeção sobre o plano x y da curva de interseção das superfícies z = 1 - x 2 e z = x 2 + y 2 é uma elipse.Sugestão: o que significa geometricamente eliminar z dessas equações?
Nos exercícios de 2 a 15 : Determine os traços Determine as seções Identifique a superfície quadrica Esboce os gráficos5. 4 x 2 - 9 y 2 - z 2 = 36