Enunciado

Nos exercícios de 2 a 15 :

  1. Determine os traços
  2. Determine as seções
  3. Identifique a superfície quadrica
  4. Esboce os gráficos

6.

x 2 + 5 y 2 = 8 z 2

Passo 1

Oii, neste capitulo vamos usar tudo o que sabemos de Geometria Analitica. Vamos arregaçar as mangas e rabiscar bastante no caderno. Vamos lembrar de algumas coisas basicas. Podemos expressar formar geometricas atraves de equações matematicas. E cada equação, mesmo que mude apenas um sinal de + ou – , vai nos dizer um comportamento geometrico diferente. POr exemplo temos essas equações

y = a x 2 → Parábola

x 2 + y 2 = a 2 → Circulo

Agora se colocarmos um fator multiplicando x ou y esse circulo vai se achatar ficando oval. Chamamos isso de elipse. Voce pode encontrar essa forma sob os seguintes formatos

a x 2 + b y 2 = c

Ou,

x α 2 + y β 2 = 1

Onde no segundo caso vemos de forma mais clara os raios de x e y. O raio de x será a e o raio de y será b .

Agora, se trocarmos o sinal da equação geral da elispse, obtemos uma hiperbole. Voce pode encontrar essa forma sob os seguintes formatos

a x 2 - b y 2 = c

Ou,

x α 2 - y β 2 = 1

É interessante notar que se botarmos num mesmo plano as equações

x α 2 - y β 2 = 1

e

x α 2 + y β 2 = 1

Vemos o seguinte resultado

É como se o sinal forçasse a concavidade das curvas virar para dentro ou para fora. Para dentro elas se unem numa elipse e para fora as curvas explodem para infinito dando forma as hiperboles.

Passo 2

Quando o exercício pede traços ele quer que vejamos as imagens dessa função quadrica nos 3 planos coordenados : XY , XZ ,YZ. E com isso a gente conseguir formar imagens mais nítidas de como nossa quadrica deve ser. Vamos cair dentro então

No plano XY temos que z = 0 então nossa quadrica

x 2 + 5 y 2 = 8 z 2

Fica

x 2 + 5 y 2 = 0

Que é um ponto no (0,0)

No plano XZ temos que y = 0

x 2 = 8 z 2

x =   ± 8 z

Ou seja temos um par de retas

JÁ no plano YZ , temos que x = 0

5 y 2 = 8 z 2

y =   ± 8 5 z

Que também é um par de retas.   Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

No plano XY temos que z = 0

x 2 + 5 y 2 = 0

Que é um ponto no (0,0)

No plano XZ temos que y = 0

x =   ± 8 z

Ou seja temos um par de retas

JÁ no plano YZ , temos que x = 0

y =   ± 8 5 z

Ou seja temos um par de retas

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Esboce seu gráfico: x 2 + y 2 + z 2 - 2 y - 2 x + 1 = 0
Identifique a superfície: x 2 + y 2 - z 2 - 4 y = 0