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Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas) - Capítulo 6.2 - Ex. 2

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Nos Exercícios 1-6, use o método da casca para determinar os volumes dos sólidos obtidos com a rotação das regiões sombreadas em torno dos eixos indicados.

Passo 1

Vamos começar lembrando que o método da casca é um método para calcular o volume de uma região segundo a fórmula:

V = ∫ a b 2 π r a i o   d a c a s c a a l t u r a d a   c a s c a

Nesse caso, como o volume é em torno de y , o raio da casca é igual a x . Já a altura da casca é igual a 2 - x 2 / 4 . Assim,

V = ∫ 0 2 2 π x 2 - x 2 4 d x

Passo 2

Vamos separar em integrais distintas:

V = ∫ 0 2 2 π x 2 - x 2 4 d x = ∫ 0 2 2 ∙ 2 π x d x - ∫ 0 2 2 π x ∙ x 2 4 d x

V = 4 π ∫ 0 2 x d x - π 2 ∫ 0 2 x 3 d x

Calculando a integral:

V = 4 π ∫ 0 2 x d x - π 2 ∫ 0 2 x 3 d x = 4 π x 2 2 - π 2 ∙ x 4 4 0 2 = 2 π x 2 - π x 4 8 0 2

V = 2 π ∙ 2 2 - π 2 4 8 - 2 π 0 2 - π 0 4 8 = 8 π - 2 π = 6 π

Resposta

6 π

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