Enunciado

Use o teorema de Pappus para encontrar o volume de um cone circular reto com 2 m de raio da base 3 m de altura.

Passo 1

Vamos lembrar qual o enunciado do teorema de Pappus: Se uma região plana girar em torno de uma reta em seu plano que não corta a região, então, a medida do volume do sólido de revolução gerado será igual ao produto da medida da área pela medida da distância percorrida pelo centróide da região.

Então teríamos a fórmula para o volume como sendo V = Á r e a ⋅ D i s t â n c i a   P e r c o r r i d a .

Agora devemos perceber que esse cone é obtido quando fazemos a revolução de um triângulo reto de base 2 m e altura 3 m em torno do eixo x , por exemplo. Segue a figura:

Pela fórmula do teorema de Pappus, o volume da esfera seria:

V = Á r e a ⋅ D i s t â n c i a   P e r c o r r i d a = b ⋅ a 2 ⋅ 2 π d   m 3 =   2 ⋅ 3 2 ⋅ 2 π d   m 3 = 6 π d   m 3

Lembre-se que b ⋅ a 2 a área do triângulo e perceba que 2 π d é a distância percorrida pelo centróide quando fazemos a revolução dessa região em torno do eixo x (é o comprimento da circunferência de raio d ). Então para calcular esse volume, vamos precisar agora da ordenada do centróide, que tem comprimento d .

Passo 2

Agora devemos achar o centróide, que, no caso do triângulo, é o seu baricentro G . Temos a seguinte fórmula para o baricentro do triângulo de vértices A ,   B e O :

G = A + B + O 3 = 0,0 + 0,2 + ( 3,0 ) 3 = 3 3 , 2 3 = 1 , 2 3

Sendo assim, d = 2 3 .

Passo 3

Acabamos de descobrir que d = 1 3 , então, o volume é:

V = 6 π 2 3   m 3 = 4 π   m 3

Prontinho.

Resposta

V = 4 π   m 3

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