Enunciado

Use o método das cascas cilíndricas para achar o volume gerado pela rotação em torno do eixo y da região limitada pelas curvas dadas. Esboce a região e uma casca típica.

y 2 = x ,       x = 2 y

Passo 1

E aí! tudo certinho?

Nesse problema temos que calcular o volume gerado pela rotação ao redor do eixo y da região entre as curvas

y 2 = x ,     x = 2 y

Para calcular usando o método das cascas cilíndricas temos que usar a seguinte fórmula:

V = ∫ a b 2 π x f x d x

Onde 2 π x corresponde a circunferência, f x a altura da casca e d x a espessura. Analisando a integral, precisamos achar quem é f x e quem são os limites de integração, vamos primeiro esboçar a região e uma casca para conseguir o que falta:

Pronto, pela figura temos o que precisamos, os limites de integração são a = 0 e b = 4 , e a nossa altura é f x = x - x 2 .

Veja só!

Passo 2

Vamos agora substituir na equação e calcular:

V = ∫ a b 2 π x f x d x

V = ∫ 0 4 2 π x x - x 2   d x

V = ∫ 0 4 2 π x 3 2 - x 2 2   d x

Bem, para achar o valor dessa integral vamos calcular a integral indefinida dela e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração.

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C   n ≠ - 1

Agora é só aplicar:

∫ 2 π x 3 2 - x 2 2   d x = 2 π x 3 2 + 1 3 2 + 1 - 1 2 . x 2 + 1 2 + 1 + C = 2 π 2 x 5 2 5 - x 3 6 + C

Pronto, já encontramos a integral indefinida. Perceba que nem seria necessário colocar a constante de integração nesse caso, pois a gente usou a integral indefinida mais como uma ferramenta para calcular a integral. Agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

∫ a b f x d x = F b - F a

Vamos lá:

V = ∫ 0 4 2 π x 3 2 - x 2 2   d x

Calculando a integral e aplicando os limites de integração...

V = 2 π 2 x 5 2 5 - x 3 6 0 4

V = 2 π 2 . 4 5 2 5 - 4 3 6 - 2 π 2 . 0 5 2 5 - 0 3 6

V = 64 π 15

E aí! entendeu tudo? Responde Aí!

Resposta

V = 64 π 15

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Use o método das cascas cilíndricas para encontrar o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo x . Esboce a região e uma casca típica. x = 1 + y 2 ,
Use o método das cascas cilíndricas para achar o volume gerado pela rotação em torno do eixo y da região limitada pelas curvas dadas. Esboce a região e uma casca típica. y = e - x 2 ,y = 0 , x = 0 ,x
Use o método das cascas cilíndricas para achar o volume gerado pela rotação em torno do eixo y da região limitada pelas curvas dadas. Esboce a região e uma casca típica. y = x 2 ,y = 6 x - 2 x ² ²
Encontre o volume do sólido obtido quando a região sob a curva y = x 4 - x 2 , 0 ≤ x ≤ 2 é girada em torno do eixo y .
Use cascas cilíndricas para encontrar o volume do sólido.Um cone circular reto de altura h e base com raio r .