Enunciado

Use o método das cascas cilíndricas para achar o volume gerado pela rotação em torno do eixo y da região limitada pelas curvas dadas. Esboce a região e uma casca típica.

y = 1 x ,       y = 0 ,       x = 1 ,       x = 2

Passo 1

Opa, bora começar com o esboço da região e de uma casca típica de:

y = 1 x ,       y = 0 ,       x = 1 ,       x = 2

Pra começar vamos esboçar a região delimitada pelas curvas acima:

Repara que a altura é igual a :

y = 1 x

Aqui a gente vai usar o método das cascas cilíndricas! Fazendo uma rotação em torno do eixo y :

Passo 2

Para calcular o volume usamos a fórmula:

V = ∫ a b 2 π x f ( x ) d x

Onde 2 π x é a circunferência, f ( x ) é a altura e d x a espessura. Como vimos lá em cima a altura é igual a 1 / x . Além disso as retas x = 1 e x = 2 delimitam a região, então:

V = ∫ 1 2 2 π x 1 x   d x = ∫ 1 2 2 π   d x

Passo 3

Agora precisamos resolver:

V = ∫ 1 2 2 π   d x

Bem, para achar o valor dessa integral vamos calcular a integral indefinida dela e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração.

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ k d x = k x + C

Agora é só aplicar:

∫ 2 π   d x = 2 π x + C

Pronto, já encontramos a integral indefinida. Perceba que nem seria necessário colocar a constante de integração nesse caso, pois a gente usou a integral indefinida mais como uma ferramenta para calcular a integral. Agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

∫ a b f x d x = F b - F a

Vamos lá:

V = ∫ 1 2 2 π   d x = 2 π x 1 2 = 2 π × 2 - 2 π × 1

V = 2 π

Prontinho!

Resposta

V = 2 π

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