Enunciado

Nos Exercícios 1-6, use o método da casca para determinar os volumes dos sólidos obtidos com a rotação das regiões sombreadas em torno dos eixos indicados.

Passo 1

Lembrando do método da casca que é um método para calcular o volume de uma região segundo a fórmula:

V = ∫ a b 2 π r a i o   d a c a s c a a l t u r a d a   c a s c a

Como o volume é em torno de y , o raio da casca é igual a x . Já a altura da casca é igual a 9 x x 3 + 9 . Assim,

V = ∫ 0 3 2 π x 9 x x 3 + 9 d x = 18 π ∫ 0 3 x 2 x 3 + 9 d x

Passo 2

Vamos fazer uma mudança de variável:

u = x 3 + 9

Derivando dos dois lados:

d u = 3 x 2 d x

d u 3 = x 2 d x

Transformando os limites inferior e superior:

x = 0 → u = 0 3 + 9 = 9

x = 3 → u = 3 3 + 9 = 36

Colocando na integral:

V = 18 π ∫ 0 3 x 2 x 3 + 9 d x = 18 π ∫ 0 3 x 2 d x x 3 + 9 = 18 π ∫ 9 3 6 d u 3 u = 6 π ∫ 9 36 d u u

Calculando a integral:

V = 6 π ∫ 9 36 d u u = 6 π u 1 2 1 2 9 36 = 6 π 2 u 9 36 = 6 π 2 36 - 2 9

V = 6 π 2 36 - 2 9 = 6 π 2 ∙ 6 - 2 ∙ 3 = 6 π ∙ 12 - 6 = 36 π

Resposta

3 6 π

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Ache o volume do sólido gerado pela rotação, em torno da reta x = 2 , da região limitada pelo gráfico de y = 2 x - 1 6 x 3 , pelo eixo x e pela reta x = 2 .
Ache o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo y , da região limitada pelo gráfico de y = 2 x - 1 6 x 3 , pelo eixo x e pela reta x = 2 .
1 – 12. Resolva os Exercícios de 5 a 16 da seção 6.1 pelo método do invólucro cilíndrico.Nos Exercícios, ache o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno da reta indicada, da região
1 – 12. Resolva os Exercícios de 5 a 16 da seção 6.1 pelo método do invólucro cilíndrico.Nos Exercícios, ache o volume do sólido de revolução descrito quando a região dada da figura for rotacionada em
1 – 12. Resolva os Exercícios de 5 a 16 da seção 6.1 pelo método do invólucro cilíndrico.Nos Exercícios, ache o volume do sólido de revolução descrito quando a região dada da figura for rotacionada em