Enunciado

Nos Exercícios 1-6, use o método da casca para determinar os volumes dos sólidos obtidos com a rotação das regiões sombreadas em torno dos eixos indicados.

Passo 1

Lembrando do método da casca que é um método para calcular o volume de uma região segundo a fórmula:

V = ∫ a b 2 π r a i o   d a c a s c a a l t u r a d a   c a s c a

Como o volume é em torno de y , o raio da casca é igual a x . Já a altura da casca é igual a x 2 + 1 . Assim,

V = ∫ 0 3 2 π x x 2 + 1 d x

Passo 2

Vamos fazer uma mudança de variável:

u = x 2 + 1

Derivando dos dois lados:

d u = 2 x d x

d u 2 = x d x

Transformando os limites inferior e superior:

x = 0 → u = 0 2 + 1 = 1

x = 3 → u = 3 2 + 1 = 4

Colocando na integral:

V = 2 π ∫ 0 3 x x 2 + 1 d x = 2 π ∫ 0 3 x 2 + 1 x d x = 2 π ∫ 1 4 u ∙ d u 2 = π ∫ 1 4 u d u

Calculando a integral:

V = π ∫ 1 4 u d u = π u 3 2 3 2 1 4 = π 2 u 3 2 3 1 4 = π 2 4 3 2 3 - 2 1 3 2 3

V = π 2 4 3 3 - 2 3 = π 2 64 3 - 2 3 = π 2 ∙ 8 3 - 2 3 = 14 π 3

Resposta

14 π / 3

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