Enunciado

Nos exercícios de 17 a 21, ache a área da região que está no interior da região limitada pelo gráfico da primeira equação e no exterior da região limitada pelo gráfico da segunda equação.

r ² = 4   s e n   θ r = 2

Passo 1

O enunciado nos da a equação de um gráfico e pede para determinarmos a área interior à uma equação e exterior à outra. Para isso, primeiro é ideal fazer o esboço do gráfico da equação dada para observar qual é a região que ele quer saber a área, descobrir os pontos de intersecção das duas curvas bem como, quais são os limites de θ .

Após fazer o esboço da equação , podemos utilizar o que foi mostrado ao longo da seção quando queremos saber a área de uma região interior à uma curva e exterior a outra dada em coordenadas polares, que nos diz que para calcular a mesma podemos utilizar que a área da região é : A = 1 2 . ∫ α β f θ 2 - g θ 2 d θ .

Em muitos problemas também podemos utilizar o conceito de simetria.

Passo 2

Assim, o esboço do gráfico da equação dada é:

Podemos perceber, que a primeira curva é simétrica com relação a origem e a região em questão pode ser divida em 4 regioes iguais para facilitar os calcuclos. Sendo assim, tomamos os limites de θ de π 12 até π 4 , o que determina a área da primeira das 4 regioes iguais. Entao, para determinar a área de toda região, basta multiplica-la por 4.

Passo 3

Sendo assim, a área é:

A = 1 2 . ∫ α β f θ 2 - g θ 2 d θ = 4 .   1 2 . ∫ π 12 π 4 4 s e n 2 θ - 2   2 d θ =

= 2 . ∫ π 12 π 4 4 s e n 2 θ - 2 d θ = 2 4 . 1 2 - c o s 2 θ - 2 θ π 12 π 4 = 2 0 - π 2 - - 3 - π 6 =

= 2 3 - π 3

Resposta

A = 2 3 - π 3

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