Enunciado

Nos exercícios de 17 a 21, ache a área da região que está no interior da região limitada pelo gráfico da primeira equação e no exterior da região limitada pelo gráfico da segunda equação.

r = a r = a ( 1 - cos ⁡ θ )

Passo 1

O enunciado nos da a equação de um gráfico e pede para determinarmos a área interior à uma equação e exterior à outra. Para isso, primeiro é ideal fazer o esboço do gráfico da equação dada para observar qual é a região que ele quer saber a área, descobrir os pontos de intersecção das duas curvas bem como, quais são os limites de θ .

Após fazer o esboço da equação , podemos utilizar o que foi mostrado ao longo da seção quando queremos saber a área de uma região interior à uma curva e exterior a outra dada em coordenadas polares, que nos diz que para calcular a mesma podemos utilizar que a área da região é : A = 1 2 . ∫ α β f θ 2 - g θ 2 d θ .

Em muitos problemas também podemos utilizar o conceito de simetria.

Passo 2

Assim, o esboço do gráfico da equação dada é:

Como a curva é simétrica com relação ao eixo polar, tomamos os limites de θ de 0 até π 2 , o que determina a área da região limitada pela curva acima do eixo polar. Entao, para determinar a área de toda região, basta multiplica-la por 2.

Passo 3

Sendo assim, a área é:

A = 1 2 . ∫ α β f θ 2 - g θ 2 d θ = 2 .   1 2 . ∫ 0 π 2 3 2 - 3 ( 1 - c o s θ 2 d θ =

= ∫ 0 π 2 9 - 9 1 - c o s θ 2 d θ = ∫ 0 π 2 9 1 - 1 - c o s θ 2 d θ =

= 9 . ∫ 0 π 2 ( 1 - ( 1 - 2 c o s θ + cos 2 ⁡ θ ) d θ = 9 . ∫ 0 π 2 1 - 1 + 2 c o s θ - 1 2 1 + c o s 2 θ d θ

= 9 2 s e n θ - 1 2 θ + 1 2 s e n 2 θ 0 π 2 = 9 2 - 1 2 π 2 + 0 - 0 = 9 2 - π 4

Resposta

A = 9 2 - π 4

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