Enunciado

Nos exercícios 17 a 34, determinar os pontos críticos das funções dadas, classificando-os, quando possível.

32. z = y . cos ⁡ x

Passo 1

Então galera, para encontrarmos os pontos críticos da função que nos foi dada basta derivarmos parcialmente a função em relação a x e a y e, em seguida, igualar as funções a zero! A função que nos foi dada é a seguinte:

z = y . cos ⁡ x

Derivando em relação a x :

∂ z ∂ x = - y . s e n   x

Derivando em relação a y :

∂ z ∂ y = cos ⁡ x

Igualando ambas as equações a zero, teremos:

- y . s e n   x = 0 ⇒ y = 0   o u   s e n   x = 0 cos ⁡ x = 0 ⇒ x = 2 n + 1 . π 2

Sendo assim, podemos concluir que os pontos críticos da função são 2 n + 1 . π 2 ,     0

Passo 2

Para classificarmos se o ponto crítico se trata de um ponto de máximo ou ponto de mínimo, devemos determinar as derivadas parciais de segunda ordem para, em seguida, utilizar o determinante Hessiano da função z = f x ,   y que temos, tudo bem? As derivadas serão:

∂ f ∂ x = - y . s e n   x

∂ 2 f ∂ x 2 = - y . cos ⁡ x

Para y :

∂ f ∂ y = cos ⁡ x

∂ 2 f ∂ y 2 = 0

Para as derivadas mistas:

∂ 2 f ∂ y ∂ x = - s e n   x

∂ 2 f ∂ x ∂ y = - s e n   x

Tudo bem, as derivadas foram encontradas!

Passo 3

Agora que encontramos as derivadas parciais, temos que o determinante será:

H x ,   y = ∂ 2 f ∂ x 2 x ,   y ∂ 2 f ∂ y ∂ x x ,   y ∂ 2 f ∂ x ∂ y x ,   y ∂ 2 f ∂ y 2 ( x ,   y )  

H 2 n + 1 . π 2 ,   0 = - y . cos ⁡ x - s e n   x - s e n   x 0   = - s e n 2 x = - 1 < 0

Sendo assim, temos que o resultado do nosso determinante é negativo. Pelas proposições estudadas na seção 5.6.1 temos que quando o determinante é menor do que zero, como é o nosso caso, então os pontos críticos em questão são pontos de sela. Dessa forma, temos que:

2 n + 1 . π 2 ,   0   s ã o   p o n t o s   d e   s e l a

Resposta

Pontos críticos: 2 n + 1 . π 2 ,   0 ;

Classificação: Pontos de sela.

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