Encontrar:

(∂^2 f / ∂x²), (∂^2 f / ∂y²), (∂^2 f / ∂x∂y), (∂^3 f / ∂x²∂y) e (∂^3 f / ∂z³)

Das seguintes funções:

b) f(x, y, z) = (e^y \* sen x, e^x \* sen y, z)

Passo 1

Então pessoal, o enunciado pede para que encontremos vááárias derivadas, então para não confundir iremos fazê-las passo a passo e uma de cada vez, tudo jóia? Então ok! A função que nos foi dada é:

f → x ,   y ,   z = e y . s e n   x ,   e x . s e n   y ,   z

A primeira derivada que temos que encontrar é ∂ 2 f → ∂ x ² . Sendo assim:

∂ f → ∂ x = e y . cos ⁡ x ,   e x . s e n   y ,   0

∂ 2 f → ∂ x ² = - e y . s e n   x ,   e x . s e n   y ,   0

A segunda derivada que temos que encontrar é ∂ 2 f → ∂ y ² . Sendo assim:

∂ f → ∂ y = e y . s e n   x ,   e x . cos ⁡ y ,   0

∂ 2 f → ∂ y ² = e y . s e n   x ,   - e x . s e n   y ,   0

Tudo bem, as primeiras duas já foram, agora vamos para o resto!

Passo 2

A terceira derivada que temos que encontrar é ∂ 2 f → ∂ x ∂ y . Sendo assim:

∂ f → ∂ y = e y . s e n   x ,   e x . cos ⁡ y ,   0

∂ 2 f → ∂ x ∂ y = e y . cos ⁡ x ,   e x . cos ⁡ y ,   0

A quarta derivada que temos que encontrar é ∂ 3 f → ∂ x ² ∂ y . Sendo assim:

∂ f → ∂ y = e y . s e n   x ,   e x . cos ⁡ y ,   0

∂ 2 f → ∂ x ∂ y = e y . cos ⁡ x ,   e x . cos ⁡ y ,   0

∂ 3 f → ∂ x 2 ∂ y =   - e y . s e n   x ,   e x . cos ⁡ y ,   0

As quatro primeiras já foram, agora só falta a última!

Passo 3

A última derivada que temos que encontrar (socorro) é ∂ 3 f → ∂ z ³ . Sendo assim:

∂ f → ∂ z = 0 ,   0 ,   1

∂ 2 f → ∂ z 2 = 0 ,   0 ,   0

∂ 3 f → ∂ z ³ = 0 ,   0 ,   0

Ufa! Agora sim, todas as derivadas foram completadas! 😉

Resposta

∂ 2 f → ∂ x ² = - e y . s e n   x ,   e x . s e n   y ,   0 ;   ∂ 2 f → ∂ y ² = e y . s e n   x ,   - e x . s e n   y ,   0 ;  

∂ 2 f → ∂ x ∂ y = e y . cos ⁡ x ,   e x . cos ⁡ y ,   0 ;   ∂ 3 f → ∂ x ² ∂ y =   - e y . s e n   x ,   e x . cos ⁡ y ,   0 ;   ∂ 3 f → ∂ z ³ = 0 ,   0 ,   0

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