Enunciado

Nos exercícios 17 a 34, determinar os pontos críticos das funções dadas, classificando-os, quando possível.

20. z = x 2 + y 2 - 6 x - 2 y + 7

Passo 1

Então galera, para encontrarmos os pontos críticos da função que nos foi dada basta derivarmos parcialmente a função em relação a x e a y e, em seguida, igualar as funções a zero! A função que nos foi dada é a seguinte:

z = x 2 + y 2 - 6 x - 2 y + 7

Derivando em relação a x :

∂ z ∂ x = 2 x - 6

Derivando em relação a y :

∂ z ∂ y = 2 y - 2

Igualando ambas as equações a zero, teremos:

2 x - 6 = 0 ⇒ x = 3 2 y - 2 = 0 ⇒ y = 1

Sendo assim, podemos concluir que o ponto crítico da função é 3 ,   1 .

Passo 2

Para classificarmos se o ponto crítico se trata de um ponto de máximo ou ponto de mínimo, devemos determinar as derivadas parciais de segunda ordem para, em seguida, utilizar o determinante Hessiano da função z = f x ,   y que temos, tudo bem? As derivadas serão:

∂ f ∂ x = 2 x - 6

∂ 2 f ∂ x 2 = 2

Para y :

∂ f ∂ y = 2 y - 2

∂ 2 f ∂ y 2 = 2

Para as derivadas mistas:

∂ 2 f ∂ y ∂ x = 0

∂ 2 f ∂ x ∂ y = 0

Tudo bem, as derivadas foram encontradas!

Passo 3

Agora que encontramos as derivadas parciais, temos que o determinante será:

H x ,   y = ∂ 2 f ∂ x 2 x ,   y ∂ 2 f ∂ y ∂ x x ,   y ∂ 2 f ∂ x ∂ y x ,   y ∂ 2 f ∂ y 2 ( x ,   y )  

H 3 ,   1 = 2 0 0 2 = 4 > 0

Sendo assim, temos que nosso determinante deu um resultado positivo, vamos guardar isso! O que devemos fazer agora é ver o sinal da derivada parcial ∂ 2 f ∂ x 2 no ponto 3 ,   1 , tudo bem? Substituindo, teremos:

∂ 2 f ∂ x 2 3 ,   1 = 2 > 0

Sendo assim, temos que nossa derivada resultou em um valor positivo também. Pelas proposições estudadas na seção 5.6.1 temos que quando o determinante e a derivada parcial, ambos calculados no ponto crítico, resultam em valores positivos, então isso implica que o ponto crítico em questão é um mínimo! Dessa forma, temos que:

3 ,   1   é   m í n i m o

Resposta

Ponto crítico: ( 3 ,   1 ) ;

Classificação: Mínimo.

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