Enunciado

Verificar se o ponto ( 0 ,   0 ) é ponto crítico das funções:

c) f x ,   y = 3 x 2 4 x 2 + 2 y 2 ,     x ,   y ≠ 0 ,   0 0 ,     x ,   y = 0 ,   0

Passo 1

Então galera, o que devemos fazer aqui para ver se o ponto em questão é crítico ou não da função é ver se a função é diferenciável nesse mesmo ponto ou não. Caso não seja diferenciável, então sem dúvidas é um ponto crítico! Sendo assim, temos que:

lim ∆ x → 0 ⁡ f 0 + ∆ x ,   0 - f 0 ,   0 ∆ x = ∂ f ∂ x 0 ,   0

lim ∆ x → 0 ⁡ f ∆ x ,   0 - f 0 ,   0 ∆ x

Como f x ,   y = 3 x 2 4 x 2 + 2 y 2 , então:

l i m ∆ x → 0 3 ∆ x 2 4 ∆ x 2 - 0 ∆ x = l i m ∆ x → 0 3 4 . 1 ∆ x

∴ ∂ f ∂ x 0 ,   0 = ∞

Pelo resultado podemos notar que a função não é diferenciável no ponto em questão, sendo assim, com certeza 0 ,   0 é um ponto crítico da função!

Resposta

Sim, 0 ,   0 é um ponto crítico da função.

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