Enunciado

Nos exercícios de 19 a 40, determine se a função dada tem uma inversa. Se a inversa existir, determine – a e faça o seguinte: (a) ache o domínio e a imagem; (b) faça esboços dos gráficos da função e de sua inversa, no mesmo conjunto de eixos. Se a função não tiver uma inversa, mostre que uma reta horizontal intercepta o gráfico da função em mais de um ponto.

19. f x = 5 x - 7

Passo 1

Para saber se uma função tem inversa, basta verificar se a função biunívoca.

Então temos que verificar se nossa função biunívoca.

f x = 5 x - 7

Para fazer isso, vamos usar o teorema 7.1.2 do capítulo 7, seção 2, que diz que se uma função for crescente ou decrescente em todo seu domínio ou intervalo, ela é biunívoca.

Para saber se a função é crescente ou decrescente vamos derivar a função e ver se ela é negativa no seu domínio ou positiva.

Passo 2

Vamos derivar a função.

f x = 5 x - 7

f ' x = 5

Como a função f ' x > 0 para todo x podemos concluir que f ( x ) é crescente.

Assim, a função f ( x ) não assume os mesmos valores na imagem com o mesmo elemento do domínio, logo ela é biunívoca, logo admite inversa.

Passo 3

Agora vamos achar função inversa.

Tendo:

f x = 5 x - 7

y = 5 x - 7

⇒ 5 x = y + 7

⇒ x = y + 7 5

⇒ f - 1 y = y + 7 5

Passo 4

Tendo a inversa da função definida como:

f - 1 y = y + 7 5

Podemos ver que ela não tem nenhuma restrição para um valor de y, logo o domínio da função inversa que é a imagem da função normal está contido no conjunto dos números reais. A imagem da função inversa é o domínio da função normal, logo sua imagem está contida no conjunto dos números reais.

Passo 5

Agora vamos ver como fica o gráfico das duas funções.

A reta cinza representa f ( x ) e a reta vermelha representa f - 1 ( y ) .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Ache o valor exato da quantidade dada. a cos ⁡ a r c s e n- 1 2 ; (b) s e narccos ⁡ - 1 2
Ache o valor exato da quantidade dada. ( a )tan ⁡ a r c s e n 3 2 ; (b) s e narctan ⁡ 3 2
Ache o valor exato da quantidade dada.(a)arccsc ⁡ csc ⁡ π 3 ; (b) arccsc ⁡ csc ⁡ - π 3 ; (c) arccsc ⁡ csc ⁡ 2 π 3 ; (d) arccsc ⁡ csc ⁡ 5 π 3
Ache o valor exato da quantidade dada. a cos ⁡ arctan ⁡ - 3 ; (b) tan ⁡ arcsec ⁡ - 3
Ache o valor exato da quantidade dada.(a)arccsc ⁡ csc ⁡ π 6 ; (b) arccsc ⁡ csc ⁡ - π 6 ; (c) arccsc ⁡ csc ⁡ 5 π 6 ; (d) arccsc ⁡ csc ⁡ 11 π 6