Nos Exercícios 19-22, determine ds/dt .

22.

s = sen(t) / (1 - cos(t))

Passo 1

Vamos lá, essa é uma questão para quem já engrenou no ritmo, porque ela vai unir derivada de função trigonométrica e divisão de função. Com ela podemos usar os truques de derivação que ajudam muito nossa vida. Vou passo – a – passo pra ninguém se perder no processo. Desta vez vamos usar a regra do quociente. Se lembra dela? Pode deixar, vou botar aqui em baixo. Com o tempo essas regrinhas vão tão comuns na sua vida, que você irá lembrar já de automático.

Então se temos

d d x f x g ( x ) = f ' x g x - f x g ' ( x ) g 2 ( x )

É quase igual a do produto, apenas alterando algumas coisinhas. Então, show! Vamos cair dentro do Cálculo. Aplicando a regra de derivação do quociente:

Passo 2

s = sen ⁡ t 1 - cos ⁡ t

d s d t = 1 - cos ⁡ t d d t sen ⁡ t - sen ⁡ t d d t 1 - cos ⁡ t 1 - cos ⁡ t 2

Vamos só lembrar uma coisa rapinha

d d x   s e n   x   = cos ⁡ x  

d d x cos ⁡ x =   - s e n x  

Belezinha, só com isso já podemos resolver tudo

d s d t = 1 - cos ⁡ t ( cos ⁡ t )   - sen ⁡ t 0 - ( - s e n x ) 1 - cos ⁡ t 2

d s d t = cos ⁡ t - cos 2 ⁡ t - sen 2 ⁡ t 1 - cos ⁡ t 2

d s d t = cos ⁡ t - ( cos 2 ⁡ t + sen 2 ⁡ t ) 1 - cos ⁡ t 2

Agora temos mais um truque na manga

sen 2 ⁡ x + cos 2 ⁡ x = 1

podemos reescrever:

d s d t = cos ⁡ t - 1 1 - cos ⁡ t 2

d s d t = - 1 - cos ⁡ t 1 - cos ⁡ t 2

Cortando em cima e em baixo:

d s d t = - 1 1 - cos ⁡ t

d s d t = 1 cos ⁡ t - 1

Todo cálculo de função trigonométrica tem algum “Ás na Manga” que pode nos salvar. E não é mágica. A partir do momento que você pega mais intimidade com as identidades trigonométricas, fazer essas substituições serão bem naturais. A gente em geral usa mais esse três aqui

sen 2 ⁡ x + cos 2 ⁡ x = 1

s e n   2 x = 2 s e n x cos ⁡ x  

cos ⁡ 2 x     = cos ² ⁡ x - s e n 2

Sabendo só isso nossa vida já fica 1000x mais fácil. Terminamos por aqui, te vejo no próximo exercício. 😊

Resposta

d s d t = 1 cos ⁡ t - 1

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