Enunciado

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Encontre os pontos na curva onde a reta tangente é horizontal ou vertical. Se você tiver uma verramenta gráfica, trace a curva.

x = 2 cos ⁡ t

y = sen ⁡ 2 t

Passo 1

A reta tangente é horizontal quando

d y d t = 0

E vertical quando

d x d t = 0

Então, vamos achar essas derivadas, igualas a zero para encontrar os valores de t em que isso ocorre e depois substituir na parametrização da curva para encontrar os pontos correspondentes.

Passo 2

Vamos começar por quando a reta tangente é horizontal.

y = sen ⁡ 2 t

d y d t = 2 cos ⁡ 2 t = 0

cos ⁡ 2 t = 0

2 t = π 2

t = π 4

Passo 3

Substituindo t = π 4 na parametrização da curva, temos:

x π 4 = 2 cos ⁡ π 4 = 2

y π 4 = sen ⁡ 2 π 4 = 1

Portanto, a reta tangente é horizontal no ponto

P 1 = ( 2 , 1 )

Passo 4

Agora vamos descobrir quando a reta tangente é vertical.

x = 2 cos ⁡ t

d x d t = - 2 sen ⁡ t = 0

sen ⁡ t = 0

t = 0

Passo 5

Substituindo t = 0 na parametrização da curva, temos:

x 0 = 2 cos ⁡ 0 = 2

y 0 = sen ⁡ 2.0 = 0

Portanto, a reta tangente é vertical no ponto

P 2 = ( 2,0 )

Passo 6

Bom, vamos plotar essa curva só pra você ver como é a cara doidinha dela e tentar imaginar as retas tangentes nos pontos que a gente achou aí na questão:

Resposta

A reta tangente é horizontal no ponto

P 1 = ( 2 , 1 )

E vertical no ponto

P 2 = ( 2,0 )

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