Enunciado

Encontre uma equação da(s) tangente(s) à curva no ponto dado. A seguir, trace a curva e a(s) tangente(s) com auxílio de uma ferramenta gráfica.

x = 6 sen ⁡ t

y = t 2 + t

( 0,0 )

Passo 1

O vetor tangente à curva é dado por

d y d x = d y d t d x d t

Assim, precisamos encontrar as derivadas de x e y em relação a t e substituir nessa fórmula.

Passo 2

Vamo começar pela derivada de y :

y = t 2 + t

d y d t = 2 t + 1

Agora a derivada de x :

x = 6 sen ⁡ t

d x d t = 6 cos ⁡ t

Substituindo na fórmula

d y d x = d y d t d x d t = 2 t + 1 6 cos ⁡ t

Passo 3

Agora a gente precisa descobrir o valor do parâmetro correspondente ao ponto de tangencia ( 0,0 ) . Para isso é igualar o ponto à parametrização da curva e resolver o sistema.

x = 6 sen ⁡ t = 0

y = t 2 + t = 0

Daí tiramos que

t = 0

Substituindo no vetor tangente, temos:

d y d x = 2 . 0 + 1 6 cos ⁡ 0 = 1 6

Passo 4

Assim, a equação da reta tangente no ponto ( 0,0 ) fica:

y - y 0 = d y d x ( x - x 0 )

y - 0 = 1 6 ( x - 0 )

y = 1 6 x

Passo 5

Agora vamos traçar a curva e a nossa reta tangente no ponto ( 0,0 ) .

Vamos usar a ajuda do Winplot, como a própria questão pede, pois esse tipo de curva não é nada fácil de desenhar na mão.

Mas em último caso, se estivermos no meio da floresta perdidos e sem pc, sempre podemos chutar vários valores para t e ir plotando vários pontos pra ver a cara que a curva vai tomando e depois ligar os pontinhos, beleza?

Pra reta vale o mesmo raciocínio. Mas, plotar uma reta na mão é beeeeeem mais de boas e nesse caso aí é só fazer uma reta passando pela origem com uma inclinação de 1 6 .

Dito isso, nossa curva e nossa reta ficam:

Resposta

y = 1 6 x

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Nos exercícios de 1 a 8, ache a inclinação da reta tangente à curva dada no ponto, cujo valor de θ é o indicado. Faça também um esboço do gráfico e da reta tangente.6. r = 3 - 2 c o s θ ;θ = 2 π 3
Nos exercícios de 1 a 8, ache a inclinação da reta tangente à curva dada no ponto, cujo valor de θ é o indicado. Faça também um esboço do gráfico e da reta tangente.5. r = 6 + 2 s e n θ ;θ = 5 π 6
Nos exercícios de 1 a 8, ache a inclinação da reta tangente à curva dada no ponto, cujo valor de θ é o indicado. Faça também um esboço do gráfico e da reta tangente.8. r = 2 s e n 3 θ ;θ = 5 π 6
Nos exercícios 9 a 20, determine os pontos nos quais a curva dada tem retas tangentes verticais e horizontais. Faça um esboço do gráfico e mostre essas retas tangentes9. r = 4 + 3 s e n θ
Nos exercícios de 1 a 8, ache a inclinação da reta tangente à curva dada no ponto, cujo valor de θ é o indicado. Faça também um esboço do gráfico e da reta tangente.7. r = 3 c o s 2 θ ;θ = 2 π 3