Enunciado

Nos Exercícios de 21 a 36, use o método desta secção para calcular a área da região dada; use retângulos inscritos ou circunscritos, conforme indicado. Para cada exercício, faça uma figura

mostrando a região e o i-ésimo retângulo.

A região do Exercício 21; retângulos circunscritos.

(região limitada por y   =   x ² , o eixo x e a reta x   =   2 ;)

Passo 1

Para começar vamos determinar as extremidades do nosso problema:

Nossa região está sob a curva y = x ² no intervalo fechado 0,2

Dividindo f x = x 2 em n subintervalos cada um com comprimento:

∆ x = 2 - 0 n = 2 n

Passo 2

Nosso i-ésimo subintervalo é [ x i - 1 , x i ] , onde i = 1 ,   2 ,   3 … ,   n .

Como o exercício nos pede a região por retângulos circunscritos e f é crescente em nosso intervalo [ 0,2 ] , o valor mínimo absoluto de f em [ x i - 1 , x i ] é f ( x i ) . Logo a nossa área é dada por:

A = lim n → + ∞ ⁡ ∑ i = 1 n f x i ∆ x

Como x i = i ∆ x e f x = x ² ,

f x i = x i 2 = i ∆ x 2

Mas ∆ x = 2 n , assim:

= i 2 ∆ x 2 = 4 i ² n 2

Passo 3

Aplicando o somatório de todos os subintervalos:

∑ i = 1 n f x i ∆ x

= ∑ i = 1 n 4 i 2 n ² ⋅ 2 n

Extraímos a constante e utilizamos a regra da soma ∑ k = 1 n k 2 = 1 6 n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )

= 8 n 3 ∑ i = 1 n i 2 = 8 n 3 n n + 1 2 n + 1 6

Finalmente, fazendo o limite quando n → + ∞ :

= lim n → ∞ ⁡ 8 n 3 n n + 1 2 n + 1 6

= lim n → + ∞ ⁡ 4 3 1 + 1 n 2 + 1 n = 8 3

A área da região é 8 3 unidades de área.

Passo 4

A figura abaixo mostra em verde a região o i-ésimo retângulo circunscrito, onde a base é dada por ∆ x começando em x i - 1 e terminando em x i .

Resposta

A = 8 3 unidades de área.

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