Enunciado

Use as desigualdades (12), (13) e (14) para encontrar um número n de subintervalos para a aproximação (a) pelo ponto médio M n e (b) trapezoidal T n e (c) pela regra de Simpson S n que garanta que o erro absoluto seja menor que o valor dado.

Exercício 3: 10 - 3

∫ 0 π / 2   cos ⁡ x d x

Passo 1

A ideia aqui é calcular o valor de n usando essas fórmulas:

E M ≤ b - a 3 K 2 24 n 2

E T ≤ b - a 3 K 2 12 n 2

E S ≤ b - a 5 k 4 180 n 4

Como o enunciado já dá o valor do limitante superior do erro, é só a gente substituir esse valor e isolar o n , para cada caso. Vamos lá!

Passo 2

(a) Precisamos avaliar o n para a aproximação pelo método do ponto médio, então vamos usar

E M ≤ b - a 3 K 2 24 n 2

Onde K 2 é o valor máximo de f ' ' x no intervalo da integral.

Temos que:

f x = cos ⁡ x

Derivando duas vezes:

f ' x = - s e n   x ,   f ' ' ( x ) = - cos ⁡ x  

Dentro do intervalo 0 , π 2 , o maior valor de cosseno em módulo é 1 . Aí vemos que:

K 2 = f ' ' 0 = 1  

Passo 3

Como queremos estimar o número de subintervalos n para que E M = 10 - 3 , com a = 0 e b = π / 2 , nossa inequação fica:

10 - 3 ≤ π 2 - 0 3 1 24 ⋅ n 2

Isolando n :

24 × 10 - 3 π 2 3 ≤ 1 n 2 ∴ 24 × 10 - 3 π 2 3 - 1 2 ≤ n ∴ n ≥ 1 2,7

Como n é inteiro, ele deve ser:

n = 1 3

Passo 4

(b) Precisamos avaliar o n para a aproximação pelo método trapezoidal, então vamos usar

E T ≤ b - a 3 K 2 12 n 2

Onde K 2 é o valor máximo de f ' ' x no intervalo da integral.

Já vimos que:

K 2 = 1

Como queremos estimar o número de subintervalos n para que E T = 10 - 3 , com a = 0 e b = π / 2 , nossa inequação fica:

10 - 3 ≤ π 2 - 0 3 1 12 ⋅ n 2

Isolando n :

12 × 1 0 - 3 π 2 3 ≤ 1 n 2 ∴ 12 × 10 - 3 π 2 3 - 1 2 ≤ n ∴ n ≥ 17,97

Como n é inteiro, ele deve ser:

n = 18

Passo 5

(c)Precisamos avaliar o n para a aproximação pela regra de SImpson, então vamos usar

E S ≤ b - a 5 K 4 180 n 4

Onde K 4 é o valor máximo de f ( 4 ) x no intervalo da integral.

Temos que:

f ' ' ( x ) = - cos ⁡ x

Derivando duas vezes:

f ' ' ' x = s e n   x ,   f 4 ( x ) = cos ⁡ x  

Dentro do intervalo 0 , π 2 , o maior valor de cosseno em módulo é 1 . Aí vemos que:

K 4 = f 4 0 = 1  

Passo 6

Como queremos estimar o número de subintervalos n para que E S = 10 - 3 , com a = 0 e b = π / 2 , nossa inequação fica:

10 - 3 ≤ π 2 - 0 5 1 1 80 ⋅ n 4

Isolando n :

180 × 10 - 3 π 2 5 ≤ 1 n 4 ∴ 180 × 10 - 3 π 2 5 - 1 4 ≤ n ∴ n ≥ 2,69

Para a regra de Simpson, n dever ser inteiro par, por isso:

n = 4

Resposta

a   n = 1 3

b   n = 18

c   n = 4

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Escreva cada combinação de vetores como um único vetor. P Q → + Q R → R P → + P S → Q S → - P S → R S → + S P → + P Q →