Enunciado

Use as desigualdades (12), (13) e (14) para encontrar um número n de subintervalos para a aproximação (a) pelo ponto médio M n e (b) trapezoidal T n e (c) pela regra de Simpson S n que garanta que o erro absoluto seja menor que o valor dado.

Exercício 1: 5 × 10 - 4

∫ 0 3   x + 1 d x

Passo 1

A ideia aqui é calcular o valor de n usando essas fórmulas:

E M ≤ b - a 3 K 2 24 n 2

E T ≤ b - a 3 K 2 12 n 2

E S ≤ b - a 5 k 4 180 n 4

Como o enunciado já dá o valor do limitante superior do erro 5 × 10 - 4 , é só a gente substituir esse valor e isolar o n , para cada caso. Vamos lá!

Passo 2

(a) Precisamos avaliar o n para a aproximação pelo método do ponto médio, então vamos usar

E M ≤ b - a 3 K 2 24 n 2

Onde K 2 é o valor máximo de f ' ' x no intervalo da integral.

Temos que:

f x = x + 1

Derivando duas vezes:

f ' x = 1 2 x + 1 ,   f ' ' ( x ) = - 1 4 x + 1 3 2  

Isso é uma divisão, então o valor máximo em módulo acontece no valor mínimo do denominador, que dentro do intervalo [ 0,3 ] , é o próprio x = 0 . Aí vemos que:

K 2 = f ' ' 0 = 1 / 4

Passo 3

Como queremos estimar o número de subintervalos n para que E M = 5 × 10 - 4 , com a = 0 e b = 3 , nossa inequação fica:

5 × 10 - 4 ≤ 3 - 0 3 1 / 4 24 ⋅ n 2

Isolando n :

480 × 10 - 4 27 ≤ 1 n 2 ∴ 480 × 10 - 4 27 - 1 2 ≤ n ∴ n ≥ 23,71

Como n é inteiro, ele deve ser:

n = 24

Passo 4

(b) Precisamos avaliar o n para a aproximação pelo método trapezoidal, então vamos usar

E T ≤ b - a 3 K 2 12 n 2

Onde K 2 é o valor máximo de f ' ' x no intervalo da integral.

Já vimos que:

K 2 = 1 / 4

Como queremos estimar o número de subintervalos n para que E T = 5 × 10 - 4 , com a = 0 e b = 3 , nossa inequação fica:

5 × 10 - 4 ≤ 3 - 0 3 1 / 4 12 ⋅ n 2

Isolando n :

240 × 10 - 4 27 ≤ 1 n 2 ∴ 240 × 10 - 4 27 - 1 2 ≤ n ∴ n ≥ 33,54

Como n é inteiro, ele deve ser:

n = 34

Passo 5

(c)Precisamos avaliar o n para a aproximação pela regra de SImpson, então vamos usar

E S ≤ b - a 5 K 4 180 n 4

Onde K 4 é o valor máximo de f ( 4 ) x no intervalo da integral.

Temos que:

f ' ' x = - 1 4 x + 1 3 2

Derivando duas vezes:

f ' ' ' x = 3 8 x + 1 5 2 ,   f 4 = - 15 16 x + 1 7 2  

Isso é uma divisão, então o valor máximo em módulo acontece no valor mínimo do denominador, que dentro do intervalo [ 0,3 ] , é o próprio x = 0 . Aí vemos que:

K 4 = f ( 4 ) 0 = 15 16  

Passo 6

Como queremos estimar o número de subintervalos n para que E S = 5 × 10 - 4 , com a = 0 e b = 3 , nossa inequação fica:

5 × 10 - 4 ≤ 3 - 0 5 15 / 16 180 ⋅ n 4

Isolando n :

5 × 180 × 16 × 10 - 4 15 × 243 ≤ 1 n 4 ∴ 5 × 180 × 16 × 10 - 4 15 × 243 - 1 4 ≤ n ∴ n ≥ 7,1

Para a regra de Simpson, n dever ser inteiro par, por isso:

n = 8

Resposta

a   n = 24

b   n = 34

c   n = 8

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