Enunciado

Nos Exercícios de 21 a 36, use o método desta secção para calcular a área da região dada; use retângulos inscritos ou circunscritos, conforme inficado. Para cada exercício, faça uma figura mostrando a região e o i-ésimo retângulo.

35. A região limitada por y = m x , com m > 0 , o eixo x e as retas x = a e x = b , com b > a > 0 ; retângulos circunscritos.

Passo 1

A região do exercício é:

A região e o i-ésimo retângulo circunscrito estão na figura.

Passo 2

Vamos calcular a área do intervalo [ a , b ] .

Δ x = b - a n

f x i = m a + i b - a n

A = lim n → + ∞ ⁡ ∑ i = 1 n f ( x i ) Δ x = lim n → + ∞ ⁡ ∑ i = 1 n m a + i b - a n b - a n  

A = lim n → + ∞ ⁡ m b - a n ∑ i = 1 n a + i b - a n  

A = lim n → + ∞ ⁡ m b - a n a ∑ i = 1 n 1 + b - a n ∑ i = 1 n i  

Passo 3

Agora vamos usar as fórmulas dos somatórios e calcular o limite.

∑ i = 1 n 1 ⏞ I = n                                 ∑ i = 1 n i ⏞ = I I n ( n + 1 ) 2

A = lim n → + ∞ ⁡ m b - a n a n + b - a n ⋅ n ( n + 1 ) 2

A = lim n → + ∞ m ⁡ b - a n a n + b - a 2 n + 1

A = lim n → + ∞ m ⁡ ( b - a ) a n n + b - a 2 1 + 1 n

A = m ⁡ ( b - a ) a + b - a 2 1 + 0

A = m ⁡ ( b - a ) 2 a + b - a 2

A = m ⁡ 2 a b - a + b - a 2 2

A = m ⁡ 2 a b - 2 a 2 + b 2 - 2 a b + a 2 2

A = m ⁡ - 2 a 2 + b 2 + a 2 2

A = m ⁡ b 2 - a 2 2     u . a

Logo, a área A é m ⁡ b 2 - a 2 2     u . a .

Resposta

A = m ⁡ b 2 - a 2 2     u . a

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