Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart - Capítulo 5.1 - Ex. 18

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Use a Definição 2 para achar uma expressão para a área sob o gráfico de f como um limite. Não calcule o limite.

f x = ln ⁡ x x ,   3 ≤ x ≤ 1 0

Passo 1

A Definição 2 diz que a área A da região S que está sob o gráfico de uma função contínua é o limite da soma das áreas dos retângulos aproximantes:

A = lim n → ∞ ⁡ [ f ( x 1 ) ∆ x + f x 2 ∆ x + … + f ( x n ) ∆ x ]

Passo 2

Com a função dada podemos achar o seguinte delta:

∆ x = 10 - 3 n = 7 n

Nosso x i é:

x i = 3 + i ∆ x = 3 + 7 i n

Passo 3

Usando a definição:

A = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n f x i ∆ x

A = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n ln ⁡ 3 + 7 i n 3 + 7 i n 7 n

Resposta

A = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n ln ⁡ 3 + 7 i n 3 + 7 i n 7 n

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