Enunciado

Use a Definição 2 para achar uma expressão para a área sob o gráfico de f como um limite. Não calcule o limite.

f x = ln ⁡ x x ,   3 ≤ x ≤ 1 0

Passo 1

A Definição 2 diz que a área A da região S que está sob o gráfico de uma função contínua é o limite da soma das áreas dos retângulos aproximantes:

A = lim n → ∞ ⁡ [ f ( x 1 ) ∆ x + f x 2 ∆ x + … + f ( x n ) ∆ x ]

Passo 2

Com a função dada podemos achar o seguinte delta:

∆ x = 10 - 3 n = 7 n

Nosso x i é:

x i = 3 + i ∆ x = 3 + 7 i n

Passo 3

Usando a definição:

A = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n f x i ∆ x

A = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n ln ⁡ 3 + 7 i n 3 + 7 i n 7 n

Resposta

A = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n ln ⁡ 3 + 7 i n 3 + 7 i n 7 n

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Ache as aproximações T 10 e M 10 para ∫ 1 2 e 1 x d x .Estime os erros envolvidos nas aproximações na parte (a).Que tamanho de n devemos escolher para que as aproximações T n e M n para a integral na
Calcule as aproximações L n , R n , T n e M n para n = 5 , 10 e 20 . Então calcule os erros correspondentes E L , E R , E T e E M . (Arredonde seus resultados para seis casas decimais. Você pode usar
Calcule as aproximações L n , R n , T n e M n para n = 5 , 10 e 20 . Então calcule os erros correspondentes E L , E R , E T e E M . (Arredonde seus resultados para seis casas decimais. Você pode usar
O gráfico da aceleração a t de um carro, medida em m/s², é mostrado. Use a Regra de Simpson para estimar o aumento da velocidade do carro durante o intervalo de 6 segundos.
A água vaza de um tanque a uma taxa de r t litros por hora, sendo que o gráfico de r é como mostrado. Use a Regra de Simpson para estimar a quantidade total de água que vazou durante as primeiras seis