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Nos exercícios de 21 a 39, encontre o limite e, quando aplicável, indique os teoremas de limite usados.

36 )   lim x → - 2 ⁡ x ³ - x 2 - x + 10 x ² + 3 x + 2

Passo 1

Neste exercício precisamos descobrir o limite para a função dada quando x está se aproximando de -2, demonstrando os teoremas necessários para alcançá-lo.

Sabendo que:

f x = x ³ - x 2 - x + 10 x ² + 3 x + 2 = x + 2 . ( x 2 - 3 x + 5 ) ( x + 2 ) ( x + 1 ) = ( x 2 - 3 x + 5 ) ( x + 1 )

O próximo passo é escolher o teorema a ser utilizado.

Passo 2

Então precisamos resolver:

l i m x → - 2   ( x 2 - 3 x + 5 ) ( x + 1 )

Pelo Teorema de Limite 9:

Se  lim x → a ⁡ f ( x ) = L   e     lim x → a ⁡ g ( x ) = M ,   e n t ã o   lim x → a ⁡ f x lim x → a ⁡ g x = L M

l i m x → - 2   ( x 2 - 3 x + 5 ) ( x + 1 ) =   l i m x → - 2 ( x 2 - 3 x + 5 ) l i m x → - 2 ( x + 1 )

Pelo Teorema de Limite 4:

Se  lim x → a ⁡ f ( x ) = L   e     lim x → a ⁡ g ( x ) = M ,   e n t ã o   lim x → a ⁡ f x ∓ g ( x ) = L ∓ M

l i m x → - 2 ( x 2 - 3 x + 5 ) l i m x → - 2 ( x + 1 ) = l i m x → - 2 x 2 - l i m x → - 2 3 x - 5 l i m x → - 2 x + 1

Pelo Teorema 1:

lim x → a ⁡ m x - b = m a - b

l i m x → - 2 3 x - 5 = 3 . - 2 - 5 = - 11

l i m x → - 2 x + 1 = - 2 + 1 = - 1

Usando o Teorema 8:

Se  lim x → a ⁡ f ( x ) = a ,   e n t ã o   lim x → a ⁡ f x n = a n

l i m x → - 2 x = - 2

l i m x → - 2 x 2 = - 2 2 = 4

Concluindo:

l i m x → - 2 x 2 - l i m x → - 2 3 x - 5 l i m x → - 2 x + 1 = 4 + 11 - 1 = - 15

Resposta

lim x → - 2 ⁡ x ³ - x 2 - x + 10 x ² + 3 x + 2 = - 15

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