Enunciado

Nos Exercícios 21-26, use derivação implícita para determinar d y d x e depois d ² y d x ² .

24. y 2 - 2 x = 1 - 2 y

Passo 1

Então pessoal, assim como manda o manual, ou seja, assim como discutido na seção 7 do George, a técnica que devemos utilizar para derivar essa função implicitamente é a seguinte:

1. Derivar ambos os lados da equação em relação a x , considerando y como uma função derivável de x ;

2. Agrupar os termos que possuem d y d x em um lado da equação e isolar d y d x .

Sabendo disso, já podemos tranquilamente derivar a função que nos foi pedida, beleza? Bora lá!

Passo 2

Aplicando o passo 1, teremos o seguinte:

2 y . d y d x - 2 = - 2 . d y d x

Agora que já derivamos ambos os lados, aplicando o passo 2, teremos:

2 y . d y d x + 2 . d y d x = 2

d y d x . y + 1 = 1

∴ d y d x = 1 y + 1

Passo 3

Agora que descobrimos a derivada de primeira ordem, basta derivarmos novamente para descobrir a derivada de segunda ordem, ok? Fazendo isso, teremos:

d ² y d x ² = - 1 . y + 1 - 2 . ( y + 1 ) '

Nota-se que foi preciso utilizarmos a regra da cadeia para derivarmos a função. Continuando, temos:

d ² y d x ² = - 1 y + 1 2 . d y d x

Mas como já sabemos o valor daquela derivada de primeira ordem que apareceu ali, basta substituirmos:

d ² y d x ² = - 1 y + 1 2 . 1 y + 1

∴ d ² y d x ² = - 1 y + 1 3

Resposta

d ² y d x ² = - 1 y + 1 3

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