Enunciado

Nos Exercícios 31-40, verifique se o ponto dado faz parte da curva e determine as retas que são (a) tangentes e (b) normais à curva no ponto dado.

31. x 2 + x y - y 2 = 1 , 2 , 3

Passo 1

Para verificar se o ponto faz parte da curva só precisamos substituir as coordenadas na função:

x 2 + x y - y 2 = 1 ,     ( 2,3 )

( 2 ) 2 + ( 2 ) ( 3 ) - ( 3 ) 2 = 1

4 + 6 - 9 = 1

1 = 1

Portanto o ponto faz parte da curva.

Passo 2

a.

Reta tangente tem como inclinação o valor da derivada naquele ponto.

Derivando implicitamente a função:

( 2 x ) + y + x y ' - 2 y y ' = 0

y ' x - 2 y = - 2 x - y

y ' = - 2 x - y x - 2 y

y ' = 2 x + y 2 y - x

O coeficiente angular da reta, tangente à função, no ponto 2,3 , vale:

y ' = 2 2 + 3 2 3 - 2

y ' = m = 7 4

A reta tem sua equação da forma:

y - y 0 = m ( x - x 0 )

y - 3 = 7 4 ( x - 2 )

y = 7 4 x - 7 2 + 3

y = 7 4 x - 1 2

Passo 3

b.

A linha normal vai ter o mesmo ponto em comum.

Entretanto seu coeficiente angular irá ser o inverso do coeficiente angular da reta tangente com sinal trocado, pois as retas estão perpendiculares:

y - 3 = - 4 7 ( x - 2 )

y = - 4 7 x + 8 7 + 3

y = - 4 7 x + 8 7 + 3

y = - 4 7 x + 29 7

Resposta

O ponto faz parte da curva.

a. y = 7 4 x - 1 2

b. y = - 4 7 x + 29 7

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