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Nos Exercícios de 3 a 22, simplifique a equação dada com uma rotação e uma translação de eixos. Faça um esboço do gráfico e mostre os três conjuntos de eixos.

18. 16 x 2 - 24 x y + 9 y 2 - 60 x - 80 y + 400 = 0

Passo 1

Galera, para rotacionarmos os eixos, devemos seguir o seguinte teorema, segundo o Leithold na seção 10.4:

“Se ( x ,   y ) for a representação de um ponto P em relação a um conjunto de eixos e ( x - ,   y - ) for a representação de P após a rotação dos eixos de um ângulo α , então:

i   x = x - . cos ⁡ α - y - . s e n   α   e   y = x - . s e n   α + y - . cos ⁡ α

i i   x - = x . cos ⁡ α + y . s e n   α   e   y - = - x . s e n   α + y . cos ⁡ α "

No qual α pode ser determinado utilizando-se a seguinte expressão:

c o t g   2 α = A - C B  

Aqui vale ressaltar que A é o termo que acompanha x ² , B é o termo que acompanha x y e C é o termo que acompanha y ² em uma equação de cônica, que é dada da seguinte maneira:

A x 2 + B x y + C y 2 + D x + E y + F = 0

Uma vez que esses conceitos estão claros pra gente, então podemos começar os trabalhos! Vamo que vamo!

Passo 2

A equação que nos foi dada é:

16 x 2 - 24 x y + 9 y 2 - 60 x - 80 y + 400 = 0

De ínicio, precisamos determinar cos ⁡ α e s e n   α , certo? Segundo a equação acima, temos que A = 16 , B = - 24 e C = 9 . Sendo assim, temos:

c o t g   2 α = 16 - 9 - 24 = - 7 24

Portanto:

cos ⁡ 2 α = - 7 25

Utilizando as identidades trigonométricas, teremos:

cos ⁡ α = 1 + cos ⁡ 2 α 2 = 1 - 7 25 2 = 3 5

s e n   α = 1 - cos ⁡ 2 α 2 = 1 + 7 25 2 = 4 5

Agora que determinamos s e n   α e cos ⁡ α , substituindo nas equações após a rotação de eixo, teremos:

x = x - . cos ⁡ α - y - . s e n   α   e   y = x - . s e n   α + y - . cos ⁡ α

x = x - . 3 5 - y - . 4 5   e   y = x - . 4 5 + y - . 3 5

Passo 3

Agora que encontramos as expressões para x e y pós rotação de eixos, vamos substituir os novos valores na equação dada, se liga:

16 x 2 - 24 x y + 9 y 2 - 60 x - 80 y + 400 = 0

16 . x - . 3 5 - y - . 4 5   2 - 24 . x - . 3 5 - y - . 4 5   . x - . 4 5 + y - . 3 5 + 9 . x - . 4 5 + y - . 3 5 2 - 60 . x - . 3 5 - y - . 4 5

- 80 . x - . 4 5 + y - . 3 5 = - 400

Abrindo e fazendo as devidas simplificações, obteremos:

25 y - 2 - 60 . 3 x - - 4 y - 5 - 80 . 4 x - + 3 y - 5 = - 400

25 y - 2 - 100 x - = - 400

Dividindo todos os membros por 100 , teremos:

y - 2 4 - x - = - 4

x - = y - 2 4 + 4

4 x - - 4 = y - 2

Chamando x - ' = ( x - - 4 ) e y - ' = y - , teremos:

4 x - ' = y - ' 2

Por fim, esboçando o gráfico, teremos:

Resposta

4 x - ' = y - ' 2

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