Enunciado

Nos exercícios de 23 a 42, prove que o limite é o número indicado, aplicando a Definição 2.1.1.

25) lim x → 4 ⁡ 2 x + 1 = 9

Passo 1

Para satisfazer a Definição 2.1.1 precisamos mostrar que para todo ϵ > 0 , existe um δ > 0 . Para começar vamos definir os valores de f x ,   a   e   L . Dada a definição de limite:

lim x → a ⁡ f ( x ) = L

Assumimos que:

f x = 2 x + 1

a = 4

L = 9

Sendo assim:

0 < x - 4 < δ

f x - 9 < ϵ

Para encontrar um δ > 0 o primeiro passo é substituir f x na desigualdade:

Passo 2

Substituindo f x :

2 x + 1 - 9 < ϵ

2 x - 8 < ϵ

2 ( x - 4 ) < ϵ

2 x - 4 < ϵ

Pela desigualdade que o problema nos forneceu, temos:

x - 4 < δ

Substituindo :

2 x - 4 < ϵ

2 δ < ϵ

δ < ϵ 2

Isso significa que ϵ 2 é um valor satisfatório para δ . Assim, estabelecemos que tendo escolhido δ = ϵ 2 , para todo   ϵ > 0 , a seguinte afirmativa é verdadeira:

se

0 < x - 4 < δ

então

f x - 9 < ϵ

Isso prova que

lim x → 4 ⁡ 2 x + 1 = 9

Resposta

δ = ϵ 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Use a Definição 5.4.3 tomando como a extremidade esquerda de cada subintervalo para encontrar a área sob a curva y = f ( x ) acima do intervalo especificado. f x = x 2 ; 1,4
Use a Definição 5.4.3 tomando como x k * como o ponto médio de cada subintervalo para encontrar a área sob a curva y = f ( x ) acima do intervalo especificado. f x = 6 - x ;1,5
Divida o intervalo em n = 4 subintervalos de igual tamanho, e netão calcule ∑ k = 1 4 f x k *∇ x Tomando x k * com (a) extremidade esquerda de cada subintervalo, (b) o ponto médio de cada subintervalo
Divida o intervalo em n = 4 subintervalos de igual tamanho, e netão calcule ∑ k = 1 4 f x k *∇ x Tomando x k * com (a) extremidade esquerda de cada subintervalo, (b) o ponto médio de cada subintervalo
Divida o intervalo em n = 4 subintervalos de igual tamanho, e netão calcule ∑ k = 1 4 f x k *∇ x Tomando x k * com (a) extremidade esquerda de cada subintervalo, (b) o ponto médio de cada subintervalo