Enunciado

Nos Exercícios de 35 a 39, uma partícula está se movendo ao longo de uma reta, de acordo com a equação dada, onde s (m) é a distância orientada entre a posição da partícula e a origem no instante t (s). Ache o instante em que a aceleração instantânea é zero e nesse instante determine a distância orientada a partir da origem e a velocidade instantânea.

37 .   s = 125 16 t + 32 - 2 5 t 5 ,   t   ≥ 0

Passo 1

Nesse exercício precisamos ter em mente duas coisas:

  1. O que temos.
  2. O que queremos.
  3. O que sabemos?

O que temos?

Temos a equação da posição da partícula.

O que queremos?

Saber em que instante de tempo a aceleração instantânea é zero e qual a velocidade instantânea e a distância orientada nesse mesmo instante.

O que sabemos?

Sabemos que:

d s d t = v                                                                                               d ² s d t ² = d v d t = a

Ou seja, a derivada da posição é a velocidade instantânea e a derivada da velocidade (ou derivada de segunda ordem da posição) é a aceleração instantânea.

E com essas informações podemos resolver todo o exercício. Então vamos começar:

Passo 2

1º - Derivada de s.

s ' = 125 ' ⋅ 16 t + 32 - 16 t + 32 ' ⋅ 125 16 t + 32 2 - 2 5 t 5 '

          = -   125 ⋅ 16 16 t + 32 2 - 5 ⋅ 2 5 t 4

        = -   2000 16 t + 32 2 - 2 t 4

Nossa velocidade então é:

v ( t ) = -   2000 16 t + 32 2 - 2 t 4

Passo 3

2º - Derivada de v.

v ' t = a t = - 2000 ' ⋅ 16 t + 32 2 - 16 t + 32 2 ' ⋅ ( - 2000 ) 16 t + 32 4 - 2 t 4 '

Nossa aceleração então é:

a =   - 2 16 t + 32 ⋅ 16 ⋅ ( - 2000 ) 16 t + 32 4 - 8 t 3 = 64000 16 t + 32 3 - 8 t 3

= 64000 16 3 t 3 + 3 ⋅ 16 2 t 2 ⋅ 32 + 3 ⋅ 16 t ⋅ 32 2 + 32 3 - 8 t 3

= 64000 32 128 t 3 + 3 ⋅ 16 2 t 2 + 3 ⋅ 16 t ⋅ 32 + 32 2 - 8 t 3

= 2000 16 8 t 3 + 3 ⋅ 16 t 2 + 3 ⋅ t ⋅ 32 + 64 - 8 t 3

= 125 8 t 3 + 3 ⋅ 2 t + 3 ⋅ t ⋅ 4 + 8 - 8 t 3 = 125 8 t + 2 3 - 8 t 3

Passo 4

A primeira coisa que o enunciado nos pede é em que instante de tempo a aceleração instantânea é zero.

Bom, como temos a equação da aceleração a única coisa que temos que fazer é substituir a por 0.

Ou seja: a = 0

a = 125 8 t + 2 3 - 8 t 3 ⇒ 0 = 125 8 t + 2 3 - 8 t 3

125 - 64 t 3 t + 2 3 8 t + 2 3 = 0

125 - 64 t 3 t + 2 3 = 0

125 - 64 t 6 - 384 t 5 - 768 t 4 - 512 t 3 = 0  

Multiplicando por -1:

64 t 6 + 384 t 5 + 768 t 4 + 512 t 3 - 125 = 0

2 t - 1 2 t + 5 16 t 4 + 64 t 3 + 84 t 2 + 40 t + 25 = 0

Para valores t reais:

2 t - 1 = 0 ⇒ t = 1 2

2 t + 5 = 0 ⇒ t = 5 2

Prontinho, achamos o instante t que é o primeiro item.

Passo 5

O próximo passo é descobrir qual a velocidade instantânea no instante t = 1 2 e t = 5 2 e para isso vamos apenas substituir t na equação de velocidade.

v ( t ) = -   2000 16 t + 32 2 - 2 t 4

Para t = 1 2 :

v 1 2 = -   2000 16 1 2 + 32 2 - 2 1 2 4

= - 2000 8 + 32 2 - 2 ⋅ 1 16

= - 2000 1600 - 1 8 = - 10 8 - 1 8 = - 11 8

Para t = 5 2 :

v 5 2 = -   2000 16 5 2 + 32 2 - 2 5 2 4

= - 2000 40 + 32 2 - 2 625 16

= - 2000 5184 - 1250 16 = 0,4 + 78,13 = 78,53

Passo 6

A última coisa que o enunciado nos pede é a distância orientada nesse mesmo instante.

Sendo s a distância orientada, usaremos a equação nos dada no enunciado e substituiremos o vamos de t.

s = 125 16 t + 32 - 2 5 t 5

Para t = 1 2 :

s 1 2 = 125 16 1 2 + 32 - 2 5 1 2 5

= 125 40 - 2 5 ⋅ 1 32 = 125 40 - 1 80

= 250 80 - 1 80 = 249 80 = 3,1

Para t = 5 2 :

s 5 2 = 125 16 5 2 + 32 - 2 5 5 2 5

= 125 72 - 625 32 = 1,7 + 19,5 = 21,2

Prontinho, achamos tudo o que queríamos!

Resposta

t = 1 2 ⇒ v = - 11 8 s = 3,1

t = 5 2 ⇒ v = 78,53 s = 21,2

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