Enunciado

Para o limite

lim x → 1 ⁡ ( 4 + x - 3 x 3 ) = 2

ilustre a Definição 2 encontrando os valores de δ que correspondam a ε = 1 e ε = 0,1 .

Passo 1

Olá, meu amado aluno. Estarei te ajudando a resolver essa atividade aqui, pega seu lápis e seu caderno que vamos começar.

O enunciado nos da : lim x → 1 ⁡ ( 4 + x - 3 x 3 ) = 2

E pede pra a gente ilustrar a definição a 2 encontrando os valores de δ que correspondam a ε = 1 e ε = 0,1 . Os valores δ , e ε vem da definição do limite.

Relembrando o que a definição 2 diz que:

Seja f uma função definida sobre algum intervalo aberto que contém o número a , exceto possivelmente no próprio a . Então dizemos que o limite de f ( x ) quando x tende a a é L , e escrevemos:

lim x → a ⁡ f ( x ) = L

Se para todo o número ε > 0 houver um número δ > 0 tal que se 0 < x - a < δ então f x - L < ε .

Basicamente ela nos diz o quão próximo nossa função fica de um valor limite L ao ficarmos δ de distancia de um valor a . Então iremos utilizar a definição e encontrarmos esses valores. Vamos utilizar das propriedades de modulo para que possamos escolher quais valores ficam próximos como a questão quer.

Passo 2

Para ε = 1 , a definição de um limite requer que ache um δ tal que

( 4 + x - 3 x 3 ) - 2 < 1

O que implica em:

1 < 4 + x - 3 x 3 < 3

e

0 < x - 1 < δ

A função f x =   4   +   x   –   3 x 3 está entre as linhas (extremidades) y = 1 e y = 3 , e as coordenadas x dos pontos de interseção da função f com essas linhas são   x   =   0.85   e x   =   1.11   . Portanto,

  0.85   <   x   <   1.11  

Como consideramos a área perto do ponto x ,   y =   1 ,   2 , a distância entre x dessas extremidades é (   1   –   0.85   =   0.15   ) e (   1.11   –   1   =   0.11   ) respectivamente. Escolhemos um valor menor para o nosso δ , que é o número 0.11   .

No gráfico abaixo você pode constar o que analisado acima.

Passo 3

Para ε = 0,1 , a definição de um limite requer que ache um δ tal que

( 4 + x - 3 x 3 ) - 2 < 0,1

Reescrevendo essa desigualdade, primeiro retirando o modulo:

- 0.1 < 4 + x - 3 x 3 - 2 < 0.1

Passando o 2 para ambos os lados da desigualdade:

2 - 0.1 < 4 + x - 3 x 3 < 2 + 0.1

1.9 < 4 + x - 3 x 3 < 2.1

O que implica em:

1,9 < 4 + x - 3 x 3 < 2,1

se

0 < x - 1 < δ

Se plotarmos o gráfico de y = 1,9 , y = 2,1 e y = 4 + x - 3 x 3 , vamos achar que:

0,988 ≤ x ≤ 1,012

Vemos que a distância até a extremidade esquerda é 1 - 0,988 = 0,012 , e a distância até a extremidade direita é 1,012 - 1 = 0,012 .

Podemos escolher δ como o menor desses números, isto é δ = 0,012 . Embora tenhamos escolhido δ = 0,012 , qualquer valor menor positivo de δ também funcionaria.

Resposta

Desenvolvimento acima.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule. lim x → + ∞ ⁡ 2 x - 3 x
Calcule. lim x → + ∞ ⁡ 1 - 2 x 1 - 3 x
Calcule. lim x → 1 ⁡ ln ⁡ x 2 - 1 x - 1
Calcule. lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ 2 x + 1 - ln ⁡ x + 3
Utilizando a ideia intuitiva de limite, calcule: lim x → 0 ⁡ x + x