Enunciado

Demonstre cada afirmação usando a definição ε , δ de limite.

lim x → - 5 ⁡ 4 - 3 x 5 = 7

Passo 1

Fala aí, tudo belezinha.

Bom, nessa questão precisamos demostrar o limite

lim x → - 5 ⁡ 4 - 3 x 5 = 7

usando a definição. Para isso vamos fazer uso de ε e δ .

Na prática nunca usamos a definição de limite para calculá-los e em geral isso pode ser muito trabalhoso. Todavia, essa questão solicita que façamos isso para demonstrar o valor de um limite.

A definição precisa de limite diz que 

lim x → a ⁡ f ( x ) = L

Se

“Para todo  ε > 0 , existe um  δ > 0  tal que se  0 < x - a < δ , então  f x - L < ε

Eu sei que parece complicado, realmente é, mas o que devemos fazer é para um dado número  ε > 0 , achar um outro número  δ (que será dado em função de  ε ) que satisfaça a relação dada.

Dado que ε > 0 , nós precisamos achar δ > 0 , tal que se satisfaça a expressão abaixo:

0 < x - 3 < δ

Vem comigo que vou te ajudar no passo a passo a entender melhor essa questão.

Passo 2

Precisamos demonstrar que:

lim x → - 5 ⁡ 4 - 3 x 5 = 7

Perceba que nesse limite temos x tendendo a - 5 . Assim, dado que ε > 0 , nós precisamos achar δ > 0 , tal que se:

0 < x - ( - 5 ) < δ

Então temos que:

4 - 3 x 5 - 7 < ε

Agora nos resta resolver isso aí.

Passo 3

Temos:

4 - 3 x 5 - 7 < ε  

Que se torna:

- 3 - 3 x 5 < ε

E tirando o mmc, ficamos com:

- 15 + 3 x 5 < ε

Como estamos em módulo, podemos colocar 3 5 em evidência, e teremos:

↔ 3 5 x + 5 < ε

E assim, chegamos a:

↔ x - ( - 5 ) < 5 3 ε

E lembra que lá atrás tínhamos 0 < x - ( - 5 ) < δ

Então,

x - ( - 5 ) < 5 3 ε

Isso nos dá que se nós escolhemos δ = 5 3 ε .

Passo 4

Agora vamos substituirmos esse valor e teremos

0 < x - - 5 < δ

com

→ x - - 5 < 5 3 ε

E voltando

→ 3 5 x - - 5 < ε

→ 3 x 5 + 3 - 7 < ε

→ 3 x 5 + 3 - 7 < ε

→ 4 - 3 x 5 - 7 < ε

Portanto, temos o limite

lim x → - 5 ⁡ 4 - 3 x 5 = 7

Pelo limite da definição.

Resposta

Demonstração.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Esboce o gráfico de f x = 4 x 2 - 1 2 x - 1 . Utilizando a ideia intuitiva de limite, calculelim x → 1 2 ⁡ 4 x 2 - 1 2 x - 1
Utilizando a ideia intuitiva de limite, calculeunderset(x - 2)(lim) (x^2 - 4 x + 4)/(x - 2)
Utilizando a ideia intuitiva de limite, calculeunderset(x - 1)(lim) (sqrt(x) - 1)/(x - 1)
Utilizando a ideia intuitiva de limite, calculeunderset(x - 0)(lim) sen x
Calcule e justifique:underset(x - - 2)(lim) (4 x + 1)