Enunciado

Nos Exercícios 23-26, use o método da casca para determinar o volume dos sólidos obtidos com a rotação das regiões delimitadas pelas curvas dadas em torno das retas dadas.

24 - y = x 3 ,   y = 8 ,   y = 0

E – Da reta y = 8.

Passo 1

Utilizaremos a fórmula:

V =   ∫ a b 2 π ⋅ r a i o   d a   c a s c a a l t u r a   d a   c a s c a d y

Como o exercício solicitou em torno do eixo x, deveremos descobrir a função:

y = x 3 ⇒ x = y 3 → x = y 1 3

Assim os limites de integração serão: a = 0   e   b = 8

Observe que agora o raio será 8 - y .

V =   2 π ∫ 0 8 ( 8 - y ) ( y 1 3 ) d y = 2 π ∫ 0 8 8 y 3 - y y 3   d y = 2 π ∫ 0 8 8 ⋅ y 1 3 - y 4 3 d y

Resolvendo a integral teremos:

V = 2 π 8 ⋅ y 1 3 + 1 1 3 + 1 - y 4 3 + 1 4 3 + 1 0 8 = 2 π 8 ⋅ y 4 3 4 3 - y 7 3 7 3 0 8 = 2 π 24 y 4 3 4 - 3 y 7 3 7 0 8 = 2 π 6 y 4 3 - 3 y 7 3 7

Resolvendo os limites de integração:

V = 2 π 6 8 4 3 - 3 8 7 3 7 - 6 0 4 3 - 3 0 7 3 7

V = 2 π 6 ⋅ 2 4 - 3 ⋅ 2 7 7 - 0 = 2 π 96 - 384 7 = 2 π 288 7

V = 576 π 7 u . v .

Observação: Como pediu o volume e não foi informado uma unidade de medida utilizamos o termo u . v . que significa unidade de volume.

Resposta

Assim o volume será: V = 576 π 7 u . v .

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