Enunciado

Nos exercícios de 25 a 30, x e y são funções de uma terceira variável. Calcule d y d x , encontrando o diferencial termo a termo (veja o Exemplo 3).

3 x 2 + 4 y 2 = 48

Passo 1

A característica mais importante das questões dessa sessão é o fato de não termos, explicitamente, y = f ( x ) . Isso nos faz lançar mão de uma ferramenta muito importante: a derivação implícita.

Como queremos d y d x , vamos derivar, termo a termo, em relação a x a equação.

Passo 2

Derivando termo a termo, em relação a x , vem:

d 3 x 2 d x + d 4 y 2 d x = d 48 d x

A derivada da função constante é nula, logo d 48 d x = 0 .

Além disso, temos que:

d 3 x 2 d x = 3 ∙ 2 x = 6 x

Passo 3

Acostume-se com esse passo: vamos ter que usar a regra da cadeia quando derivarmos funções de y , como 4 y 2 , por exemplo. Veja:

d 4 y 2 d x = d 4 y 2 d y d y d x = 8 y d y d x

Passo 4

Por fim, temos que:

6 x + 8 y d y d x = 0 ⇒ d y d x = - 6 x 8 y = - 3 x 4 y

Resposta

d y d x = - 3 x 4 y

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