Enunciado

Ache o valor máximo absoluto e o valor mínimo absoluto da função dada no intervalo indicado pelo método usado nos exemplos 3 e 4 dessa seção. Faça um esboço do gráfico da função no intervalo.

f x = x 4 - 8 x 2 + 16 ;                 [ - 3 ,   2 ]

Passo 1

A questão pede para achar os valores máximos e mínimos absolutos da função no intervalo considerado usando o método dos exemplos 3 e 4. Nesses exemplos, usamos o método do intervalo fechado que vale quando o intervalo é fechado e a função é contínua e derivável em todo o intervalo.

O teorema do intervalo fechado garante que sob essas condições, a função terá extremos absolutos (tanto máximo como mínimo) no intervalo. Os candidatos a extremos são os pontos que anulam a derivada e os extremos do intervalo. Basta compararmos os valores da função nesses pontos: o maior será o máximo global e o menor o mínimo!

Derivando f :

f ' x = 4 x 3 - 16 x

Assim, fazendo f ' x = 0 para achar os pontos críticos:

4 x   x 2 - 4 = 0 ⇒ x = 0       o u       x = ± 2

Note que x = - 2 e x = 0 estão no interior do intervalo e serão considerados na procura pelos extremos globais da função. O ponto x = 2 já está incluso nessa busca pois é extremo do intervalo.

Assim, os candidatos a extremos globais de f no intervalo são:

  • Pontos críticos: x = - 2 e x = 0
  • Extremos do intervalo x = - 3 e x = 2

Passo 2

Vamos analisar os valores da função nos candidatos a extremos:

f - 2 = 16 - 32 + 16 = 0

f - 3 = 81 - 72 + 16 = 25

f 0 = 0 - 0 + 16 = 16

f 2 = 16 - 32 + 16 = 0

Comparando os valores, vemos que f - 2 = f ( 2 ) = 0 é o mínimo absoluto de f no intervalo, enquanto f - 3 = 25 é o máximo.

Passo 3

A seguir damos um esboço do gráfico de f nesse intervalo:

Resposta

Máximo absoluto: f - 3 = 25 .

Mínimo absoluto: f - 2 = f ( 2 ) = 0 .

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