Enunciado

Nos exercícios de 25 a 36, ache a derivada da função dada

28) G x = 4 x - 1 3 ( x 2 + 2 ) 4 ( 3 x 2 + 5 ) 2

Passo 1

Bom, primeiro aplicamos a Regra do Quociente:

d d x f ( x ) g ( x ) = f ' x g x - f x g ' ( x ) g ( x ) 2

E nossa função se escreve assim:

d d x 4 x - 1 3 ( x 2 + 2 ) 4 ( 3 x 2 + 5 ) 2 - 4 x - 1 3 ( x 2 + 2 ) 4 d d x ( 3 x 2 + 5 ) 2 ( 3 x 2 + 5 ) 4

Passo 2

Agora calculamos as derivadas que sobraram separadamente:

d d x 4 x - 1 3 ( x 2 + 2 ) 4

Nesse caso a gente precisa aplicar a Regra do Produto:

f x g x = f ' x g x + f x g ' ( x )

E a nossa derivada fica da seguinte maneira:

d d x 4 x - 1 3 ( x 2 + 2 ) 4 + 4 x - 1 3 d d x [ ( x 2 + 2 ) 4 ]

Passo 3

Agora vamos aplicar a Regra da Cadeia para cada uma das derivadas do Passo 2. A primeira derivada que iremos resolver é:

d d x 4 x - 1 3

Primeiro derivamos a função de fora, que é a potência de grau 3:

d d t t 3 = 3 t 2

Substituímos t pela função de dentro e multiplicamos pela derivada dela:

3 ( 4 x - 1 ) 2 d d x ( 4 x - 1 )

Resolvendo essa última derivada com o produto:

12 ( 4 x - 1 ) 2

A próxima derivada que vamos resolver:

d d x [ x 2 + 2 4 ]

Aplicando a Regra da Cadeia e fazendo o mesmo processo da derivada que acabamos de fazer:

4 ( x 2 + 2 ) 3 d d x ( x 2 + 2 )

E resolvendo:

8 x ( x 2 + 2 ) 3

E a nossa Regra do Produto fica:

12 ( 4 x - 1 ) 2 ( x 2 + 2 ) 4 + 4 x - 1 3 8 x ( x 2 + 2 ) 3

Passo 4

E por último vamos fazer a derivada lá do início da questão:

d d x ( 3 x 2 + 5 ) 2

Usando a Regra da Cadeia a derivada fica:

2 ( 3 x 2 + 5 ) d d x ( 3 x 2 + 5 )

Resolvendo a derivada e multiplicando pelo que está fora:

12 x ( 3 x 2 + 5 )

Passo 5

Agora a gente substitui todos os resultados de cada derivada que calculamos lá na Regra do Quociente do Passo 1, e isso fica:

12 ( 4 x - 1 ) 2 ( x 2 + 2 ) 4 + 4 x - 1 3 8 x ( x 2 + 2 ) 3   .   ( 3 x 2 + 5 ) 2 - 4 x - 1 3 x 2 + 2 4   .   12 x ( 3 x 2 + 5 ) ( 3 x 2 + 5 ) 4

Simplificando:

G ' x = 4 4 x - 1 2 x 2 + 2 3 ( 21 x 4 - 3 x 3 + 49 x 2 - 4 x + 30 ) ( 3 x 2 + 5 ) 3

Resposta

G ' x = 4 4 x - 1 2 x 2 + 2 3 ( 21 x 4 - 3 x 3 + 49 x 2 - 4 x + 30 ) ( 3 x 2 + 5 ) 3

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