Enunciado

59. Use a tabela para estimar o valor de h ' 0,5 , onde h x = f g x .

Passo 1

Oie bora resolver mais uma comigo?

O exercício pede para calcular uma estimativa para h ' ( 0.5 ) , onde \ h ( x ) é uma função composta definida como h x = f g x

Para fazer isso, são fornecidas tabelas de valores para as funções f x e   g ( x ) em pontos específicos de x .

Precisamos determinar o valor de g ( x ) quando x = 0,5 .

Isso nos dá o valor da função interna g ( x ) no ponto x = 0 . 5   , que será usado mais tarde na composição de h ( x ) .

Então, para estimar a derivada de f ( x )   e m     x   =   0.5 , vamos usar uma diferença dividida finita com os valores de f x próximos a x = 0,5 .

Essa técnica nos permite aproximar a taxa de variação de f ( x ) em torno de x = 0,5 .

Com o valor de g ( 0,5 ) e uma estimativa para f ' 0,5 , podemos usar a regra da cadeia para encontrar h ' 0,5 .

Isso envolve multiplicar a derivada de f ( x ) (avaliada em g ( 0,5 ) pela derivada de g ( x ) (avaliada em x = 0,5 ) .

Essa estimativa nos dará uma ideia da taxa de variação de h ( x ) no ponto x = 0,5 .

Em resumo, o exercício nos pede para usar a regra da cadeia e técnicas de diferenciação numérica para aproximar a taxa de variação de uma função composta em um ponto específico.

Passo 2

Vamos lá então. A regra da cadeia diz que quando temos uma “função dentro da outra”:

h x = f g x

e queremos derivá-la, a gente faz a derivada da função de fora e multiplica pela derivada da função de dentro:

h ' x = f ' g x ⋅ g ' x

Como queremos h ' 0,5 , vamos substituir o x por 0,5 :

h ' 0,5 = f ' g 0,5 ⋅ g ' 0,5

Sabemos, pela tabela, o valor de g 0,5 :

h ' 0,5 = f ' 0,1 ⋅ g ' 0,5

Passo 3

A derivada de uma função, em certo ponto, pode ser vista como sendo o coeficiente angular de uma reta tangente a função nesse ponto.

Nós não temos a função, mas podemos pegar dois pontos que estão próximos do que a gente deseja descobrir a derivada e traçar a reta que intercepta os dois:

Perceba que essa reta vai ter uma inclinação parecida com a reta tangente no ponto A.

Então vamos pegar os valores dos lados do ponto 0,1 para a função f e do ponto 0,5 para a função g :

A inclinação da reta é dada por:

m = y 1 - y 2 x 1 - x 2

Então podemos escrever que

f ' 0,1 ≈ f 0,2 - f 0 0,2 - 0

f ' 0,1 ≈ 18,4 - 12,6 0,2 - 0

f ' 0,1 ≈ 29

Para a g ' 0,5 vamos fazer a mesma coisa:

g ' 0,5 ≈ g 0,6 - g 0,4 0,6 - 0,4

g ' 0,5 ≈ 0,05 - 0,17 0,6 - 0,4

g ' 0,5 ≈ - 0,6

Passo 4

Agora é só multiplicar os valores que encontramos:

h ' 0,5 = f ' 0,1 ⋅ g ' 0,5

h ' 0,5 = 29 ⋅ - 0,6

h ' 0,5 = - 17,4

Resposta

h ' 0,5 = - 17,4

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