Enunciado

60. Se g x = f f x , use a tabela para estimar o valor de g ' 1 .

Passo 1

Oie, bora resolver mais uma?

A função g ( x ) é definida como g x = f f x

Isso significa que a função g ( x ) é uma composição de f ( x ) consigo mesma. Quando temos uma composição de funções, precisamos aplicar a função interna primeiro e, em seguida, aplicar a função externa. Neste caso, g ( x ) é obtido aplicando f ( x ) duas vezes.

Na tabela fornecida, procuramos os valores de f x quando x = 1   e   x = 2,0 Achamos que f 1 = 2,0   e   f 2,0 = 3,1

Como a tabela não fornece diretamente os valores da derivada de f x , podemos usar uma técnica de diferenciação numérica para estimar f ' ( 1 ) . Usamos a diferença dividida finita entre os valores de f ( x ) próximos a x = 1 para isso.

Usando a regra da cadeia, sabemos que g ' x = f ' ( f x × f ' x . Como já estimamos f ' 1 , substituímos esse valor na expressão. Além disso, encontramos f ' ( 2,0 ) usando a mesma técnica de diferença dividida finita, pois também precisamos de f ' ( x ) no ponto onde f x = 3,1

Substituímos os valores estimados de f ' 1 e   f ' ( 2,0 ) na expressão de g ' ( 1 ) para obter a estimativa final.

Ao seguir esses passos, podemos estimar g ' ( 1 ) usando os valores da tabela fornecida e técnicas de diferenciação numérica.

Passo 2

A regra da cadeia diz que quando temos uma “função dentro da outra”:

F x = f g x

e queremos derivá-la, a gente faz a derivada da função de fora e multiplica pela derivada da função de dentro:

F ' x = f ' g x ⋅ g ' x

Só que nesse caso a função que está dentro é a mesma que está fora, então podemos escrever:

g ' x = f ' f x ⋅ f ' x

Como queremos g ' 1 , vamos substituir o x por 1 :

g ' 1 = f ' f 1 ⋅ f ' 1

Sabemos, pela tabela, o valor de f 1 :

g ' 1 = f ' 2 ⋅ f ' 1

Passo 3

A derivada de uma função, em certo ponto, pode ser vista como sendo o coeficiente angular de uma reta tangente a função nesse ponto.

Nós não temos a função, mas podemos pegar dois pontos que estão próximos do que a gente deseja descobrir a derivada e traçar a reta que intercepta os dois:

Perceba que essa reta vai ter uma inclinação parecida com a reta tangente no ponto A.

Então vamos pegar os valores dos lados dos ponto 1 e do ponto 2 para a função f :

A inclinação da reta é dada por:

m = y 1 - y 2 x 1 - x 2

Então podemos escrever que

f ' 1 ≈ f 1,5 - f 0,5 2,4 - 1,8

f ' 0,1 ≈ 2,4 - 1,8 1,5 - 0,5

f ' 0,1 ≈ 0,6

Para a f ' 2 vamos fazer a mesma coisa:

f ' 2 ≈ f 2,5 - f 1,5 2,5 - 1,5

f ' 2 ≈ 4,4 - 2,4 2,5 - 1,5

f ' 2 ≈ 2

Passo 4

Agora é só multiplicar os valores que encontramos:

g ' 1 = f ' 2 ⋅ f ' 1

g ' 1 = 2 ⋅ 0,6

g ' 1 = 1,2

Resposta

g ' 1 = 1,2

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