Enunciado

Nos Exercícios de 1 a 25, determine se a integral imprópria é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule-a.

2 .     ∫ 0 16 d x x 3 4

Passo 1

Perceba que temos integral com descontinuidade infinita em x = 0 . Logo, se a integral converge, então:

∫ 0 16 d x x 3 4 = lim t → 0 + ⁡ ∫ t 16 x - 3 4 d x

Passo 2

Agora vamos achar a integral indefinida para depois resolver a definida.

∫ x - 3 4 d x = x - 3 4 + 1 - 3 4 + 1 + C = x 1 4 1 4 + C = 4 x 1 4 + C

Pronto.

Passo 3

Agora vamos resolver a definida utilizando a primitiva acima.

Sabemos da integral definida que

∫ a b f x d x = F b - F a

Em que F é uma primitiva de f .

Dessa forma,

∫ t 16 x - 3 4 d x = 4 x 1 4 t 16 = 4   16 1 4 - t 1 4 = 4   2 - t 1 4

Passo 4

Agora podemos aplicar o limite e resolver a imprópria.

∫ 0 16 d x x 3 4 = lim t → 0 + ⁡ ∫ t 16 x - 3 4 d x = lim t → 0 + ⁡ 4   2 - t 1 4 = 8

∫ 0 16 d x x 3 4 = 8

A integral converge para 8 .

Resposta

∫ 0 16 d x x 3 4 = 8

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