Enunciado

Se f x = a x 2 + b x + c , use o teste da derivada segunda para mostrar que f tem um valor máximo relativo, se a < 0 . Ache o número onde ele ocorre.

Passo 1

A primeira coisa que teriamos que fazer é achar os pontos críticos, ou seja, que sua derivada é 0 ou não existe.

f ' x = 2 a x + b

Essa derivada vai sempre existir, então vamos igualar a 0 agora

2 a x + b = 0

2 a x = - b

x = - b 2 a

Passo 2

Para analisarmos os pontos temos que aplicar o teste da segunda derivada, que vai ser exatamente o que está aqui embaixo, mas só vale para os pontos críticos

f ' ' x < 0 ⇒ M á x i m o f ' ' x > 0 ⇒ M í n i m o

Se f ' ' x = 0 ou não existir, não funciona o teste.

Temos

f ' ' x = a

Fazendo o valor dela em x = - b 2 a :

f ' ' - b 2 a = a

Mas ele disse que a < 0 , então temos:

f ' ' - b 2 a < 0

Logo é ponto de máximo relativo.

Passo 3

Ela ocorre em x = - b 2 a , vamos achar o valor de f x para ele

f - b 2 a = a - b 2 a 2 + b - b 2 a + c

f - b 2 a = b 2 4 a - b 2 2 a + c

Igualando os denominadores

f - b 2 a = b 2 - 2 b 2 + 4 a c 4 a

f - b 2 a = - b 2 + 4 a c 4 a

Resposta

Ocorre em

x = - b 2 a

f - b 2 a = - b 2 + 4 a c 4 a

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