Enunciado

Nos Exercícios 27 e 28, use o método da casca para determinar o volume dos sólidos obtidos com a rotação das regiões sombreadas em torno dos eixos indicados.

28 –

A – O eixo x.

Passo 1

Observe que os limites da figura do eixo apresentado é o 2 e 0, logo este será nosso limite integração.

Utilizaremos a fórmula:

V =   ∫ b a 2 π ⋅ r a i o   d a   c a s c a a l t u r a   d a   c a s c a d y

Inserimos agora os valores na fórmula:

Para a função teremos:

V =   2 π ∫ 0 2 y y 2 2 - y 4 4 - y 2 2 d y = 2 π ∫ 0 2 y y 2 2 - y 4 4 + y 2 2 d y = 2 π ∫ 0 2 y y 2 - y 4 4 d y

Desenvolvendo a multiplicação:

2 π ∫ 0 2 y 3 - y 5 4   d y

Resolvendo a integral teremos:

V = 2 π y 4 4 - y 6 24 0 2

Resolvendo os limites de integração:

V = 2 π 2 4 4 - 2 6 24 - 0 4 4 - 0 6 24

V = 2 π 1 6 4 - 64 24 - 0  

V = 2 π 4 - 8 3 = 2 π 4 3 = 8 π 3   u . v .

Observação: Como pediu o volume e não foi informado uma unidade de medida utilizamos o termo u . v . que significa unidade de volume.

Resposta

8 π 3 u . v .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Use o método das cascas cilíndricas para achar o volume gerado pela rotação ao redor do eixo y da região limitada pelas curvas dadas. Esboce a região e a casca típica. y = 3 + 2 x - x 2 , x + y = 3
Use o método das cascas cilíndricas para achar o volume gerado pela rotação ao redor do eixo y da região limitada pelas curvas dadas. Esboce a região e a casca típica. y = 4 x - 2 2 , y = x 2 - 4 x +
Use o método das cascas cilíndricas para achar o volume gerado pela rotação da região limitada pelas curvas dadas ao redor dos eixos especificados. Esboce a região e a casca típica. y = x 2 , y = 0 ,
Use um gráfico para estimar as coordenadas de x dos pontos de interseção das curvas dadas. Então use essa informação para estimar o volume do solido obtido pela rotação ao redor do eixo y da região li
Use o método das cascas cilíndricas para achar o volume gerado pela rotação da região limitada pelas curvas dadas ao redor dos eixos especificados. Esboce a região e a casca típica. y = x - 1 , y = 0