Enunciado

Nos Exercícios 27 e 28, use o método da casca para determinar o volume dos sólidos obtidos com a rotação das regiões sombreadas em torno dos eixos indicados.

27 –

D – A reta y = - 2 5 .

Passo 1

Observe que os limites da figura do eixo apresentado é o 1 e 0, logo este será nosso limite integração.

Para o raio teremos: y + 2 5   , pois a reta indica para y = - 2 5 , assim o raio será: y - - 2 5 .

Utilizaremos a fórmula:

V =   ∫ b a 2 π ⋅ r a i o   d a   c a s c a a l t u r a   d a   c a s c a d y

Inserimos agora os valores na fórmula:

V =   2 π ∫ 0 1 2 5 + y 12 ( y 2 - y 3 ) d y = 2 π ∫ 0 1 2 5 + y 12 y 2 - 12 y 3 d y = 2 π ∫ 0 1 24 5 y 2 + 36 5 y 3 - 12 y 4   d y

Resolvendo a integral teremos:

V = 2 π 24 5 ⋅ y 3 3 + 36 5 ⋅ y 4 4 - 12 y 5 5 0 1 = 2 π 24 y 3 15 + 36 y 4 20 - 12 y 5 5 0 1

Resolvendo os limites de integração:

V = 2 π 24 ⋅ 1 3 15 + 36 ⋅ 1 4 20 - 12 ⋅ 1 5 5 - 24 ⋅ 0 3 15 + 36 ⋅ 0 4 20 - 12 ⋅ 0 5 5

V = 2 π 24 15 + 36 20 - 12 5 - 0  

V = 2 π 1 =   2 π   u . v .

Observação: Como pediu o volume e não foi informado uma unidade de medida utilizamos o termo u . v . que significa unidade de volume.

Resposta

2 π   u . v .

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