Enunciado

Nos Exercícios 27 e 28, use o método da casca para determinar o volume dos sólidos obtidos com a rotação das regiões sombreadas em torno dos eixos indicados.

28 –

D – Para a reta y = - 5 8 .

Passo 1

Observe que os limites da figura do eixo apresentado é o 2 e 0, logo este será nosso limite integração. Para tal o raio será y - - 5 8 = y + 5 8

Utilizaremos a fórmula:

V =   ∫ b a 2 π ⋅ r a i o   d a   c a s c a a l t u r a   d a   c a s c a d y

Inserimos agora os valores na fórmula:

Para a função teremos:

V =   2 π ∫ 0 2 y + 5 8 y 2 2 - y 4 4 - y 2 2 d y = 2 π ∫ 0 2 y + 5 8 y 2 2 - y 4 4 + y 2 2 d y = 2 π ∫ 0 2 y + 5 8 y 2 - y 4 4 d y

Desenvolvendo a multiplicação:

2 π ∫ 0 2 y 3 - y 5 4 + 5 8 y 2 - 5 32 y 4   d y

Resolvendo a integral teremos:

V = 2 π y 4 4 - y 6 24 + 5 y 3 8 - 5 y 5 160 0 2

Resolvendo os limites de integração:

V = 2 π 2 4 4 - 2 6 24 + 5 ⋅ 2 3 24 - 5 ⋅ 2 5 160 - 0 4 4 - 0 6 24 + 5 ⋅ 0 3 24 - 5 ⋅ 0 5 160

V = 2 π 16 4 - 64 24 + 40 24 - 160 160 - 0  

V = 2 π 4 - 8 3 + 5 3 - 1 = 2 π 4 - 3 3 - 1 = 2 π 4 - 2 = 2 π 2 = 4 π u . v .

Observação: Como pediu o volume e não foi informado uma unidade de medida utilizamos o termo u . v . que significa unidade de volume.

Resposta

4 π   u . v .

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