Enunciado

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Use o método das cascas cilíndricas para achar o volume gerado pela rotação em torno do eixo y da região limitada pelas curvas dadas. Esboce a região e uma casca típica.

y = x 2 ,   y = 6 x - 2 x ²

Passo 1

Esboçando a região e uma casca típica:

Passo 2

Igualando as funções para encontrar onde elas se tocam, logo, o limite da casca temos

x 2 = 6 x - 2 x 2

3 x 2 - 6 x = 0

3 x x - 2 = 0

x = 0   o u   x = 2

Passo 3

Calculando o volume:

V = ∫ 0 2 2 π x 6 x - 2 x 2 - x 2 d x = 2 π ∫ 0 2 - 3 x 3 + 6 x 2 d x = 2 π - 3 4 x 4 + 2 x 3 0 2

V = 2 π - 12 + 16 = 8 π

Resposta

V = 8 π .

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