Enunciado

Nos exercícios de 27 a 32, ache o vértice, o foco, uma equação do eixo e uma equação da diretriz da parábola dada. Faça um esboço do gráfico.

29 .   y 2 + 6 x + 10 y + 19 = 0

Passo 1

Vamos reescrever a equação dada de modo que fique:

y 2 + 10 y = - 6 x - 19

Passo 2

Completando quadrado dos termos envolvendo y no primeiro membro:

y 2 + 10 y = - 6 x - 19

y 2 + 10 y + 25 - 25 = - 6 x - 19

y + 5 2 = - 6 x - 19 + 25

y + 5 2 = - 6 x + 6

y + 5 2 = - 6 ( x - 1 )

Assim, conseguimos extrair todas as informações que queremos.

Passo 3

Como temos uma equação do tipo:

y + h 2 = - 4 p x - k

Onde h e k representam as coordenadas x e y da parábola, respectivamente, logo nosso vértice é:

V =   1 ,   - 5

Equação do eixo:

Como a equação que obtemos é do tipo:

y - h 2 = - 4 p x - k

Temos que o eixo da parábola é paralelo ao eixo x passando pelo vértice, logo a equação do eixo é dada por:

y = - 5

O foco está em:

F = 1 + p , - 5 ⇒ 4 p = - 6 ⇒ p = - 3 2

F = - 1 2 , - 5

Como o vértice está no ponto médio entre a reta diretriz e o foco e a distância entre o vértice e o foco é igual a p, assim a distância entre o vértice e a reta diretriz é igual p.

A reta diretriz nesse caso, levando em conta o tipo de equação que temos, é paralela ao eixo y. Assim temos que a equação da reta diretriz é:

1 - p = 1 - - 3 2 = 5 2

x = 5 2

Passo 4

O gráfico que representa a equação da parábola é da seguinte maneira:

Resposta

Vértice:

V =   1 ,   - 5

Foco:

F = - 1 2 , - 5

Equação do eixo:

y = - 5

Equação da diretriz:

x = 5 2

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