Enunciado

41. Os extremos do latus rectum de uma parábola são ( 5 ,   k ) e ( - 5 , k ) . Se o vértice da parábola está na origem e ela se abre para baixo, ache (a) o valor de k; (b) a equação da parábola.

Passo 1

Primeiro vamos começar com o item (a), pois precisaremos de informações obtidas nele para achar o que o item (b) pede.

Para resolver esse problema, precisamos entender o que é o latus rectum. Ele é um seguimento de reta que tem o foco como ponto médio, e ele vai de uma extremidade a outra da parábola, como a figura mostra a seguir:

Então podemos perceber que k, no nosso caso é uma das coordenadas do foco (no caso a y). Para acharmos k, precisamos achar o valor de p primeiro, mas por quê?

Porque sabemos que a distância do vértice até o foco vale p e como eles estão no mesmo eixo coordenado y (pois o vértice está na origem e a parábola aponta pra baixo) a coordenada x é a mesma, já a coordenada y vai ter a diferença de p.

Passo 2

Sabemos que o valor absoluto do latus rectum tem como valor igual a 4 p , usando o que o enunciado nos deu o comprimento dele é:

5 - - 5 = 10

⇒ 4 p = 10

⇒ p = 5 2

Assim, agora sabemos que a diferença das coordenadas y do vértice e do foco estão a uma distância 5/2 uma da outra. Como a parábola aponta para baixo, temos:

y F = 0 - 5 2 = - 5 2

Assim:

F = 0 , - 5 2

Como foi explicado no passo 1, o valor de k é o mesmo da coordenada y do foco, assim:

k = - 5 2

Passo 3

Agora para achar a equação da parábola pedida no item (b), vamos atentar a uma coisa.

Como o enunciado diz, a parábola se abre para baixo, então ela tem equação do tipo:

x - h 2 = - 4 p y - k

Agora precisamos achar os valores de h, p e k para a situação que temos.

Passo 4

Achar h e k é fácil, eles representam as coordenadas do vértice.

O h representa a coordenada x do vértice e k a coordenada y, logo:

h = 0           e           k = 0

O valor de p já achamos para resolver o item (a) e encontramos:

p = 5 2

Passo 5

Agora colocando tudo que encontramos na equação ela toma a seguinte forma:

x - h 2 = - 4 p y - k

x - 0 2 = - 4 ⋅ 5 2 y - 0

x 2 = - 10 y

Resposta

  1. O valor de é k = - 5 2
  2. A equação da parábola é:

x 2 = - 10 y

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