Enunciado

Nos Exercícios de 29 a 31:

  1. Ache os pontos de inflexão do gráfico da função trigonométrica dada;
  2. Ache a inclinação das retas tangentes nos pontos de inflexão;
  3. Faça um esboço do gráfico da função num intervalo de 2 π de comprimento e contendo o ponto de inflexão com menor abscissa positiva, e mostre um segmento da reta tangente nesse ponto de inflexão.

29 )   F u n ç ã o   c o - s e n o

Passo 1

Para a letra a precisamos determinar os pontos de inflexão do gráfico, ou seja, o ponto onde a função muda a direção da concavidade, devemos obter a derivada segunda da nossa função:

f x = cos ⁡ x

f ' x = - s e n   x

f ' ' x = - cos ⁡ x

Uma vez descoberta a derivada segunda, os pontos de inflexão são caracterizados por f ' ' x = 0 . Então:

f ' ' x = - cos ⁡ x = 0

Para que essa igualdade seja satisfeita:

x = ( k + 1 2 ) π ,                 k   é   n ú m e r o   i n t e i r o

Analisando a mudança da concavidade:

Então, para k inteiro os valores de x = ( k + 1 2 ) π são pontos de inflexão.

Passo 2

Na letra b, precisamos lembrar que a inclinação das retas tangentes é dada pela derivada primeira da função. Sendo assim:

f ' x = - s e n   x

Para os pontos de inflexão:

x = ( k + 1 2 ) π

x = 1 2 π         o u           x = 3 2 π    

A inclinação da reta tangente no ponto x = 1 2 π :        

f ' 1 2 π = - s e n   1 2 π = - 1

E no ponto x = 3 2 π :        

f ' 3 2 π = - s e n   3 2 π = 1

Generalizando para todo k:

f ' x = { - 1 ,   s e   k   f o r   p a r   1 ,   s e   k   f o r   í m p a r

Passo 3

Na letra c, desenhamos a função co-seno no intervalo de 0 até 2 π e traçamos a reta tangente no ponto de inflexão com menor abscissa positiva ( π 2 ).

Resposta

  1. Pontos de inflexão: x = ( k + 1 2 ) π
  2. Inclinação da reta tangente = { - 1 ,   s e   k   f o r   p a r   1 ,   s e   k   f o r   í m p a r
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Se f x = x 2 + a 2 p onde p é um número racional e p ≠ 0 , prove que se p1 2 , o gráfico de f terá dois pontos de inflexão e se p ≥ 1 2 , o gráfico de f não terá pontos de inflexão.
Se f for uma função polinomial, mostre que entre duas raízes consecutivas da equação f ' x = 0 haverá no máximo uma raíz da equação f x = 0 .
Mostre que os pontos de inflexão da curva y = x s e n x estão sobre a curva y 2 x 2 + 4 = 4 x 2 .
Para que valores de a e b é (2; 2,5) um ponto de inflexão da curv x 2 y + a x + b y = 0 ? Quais pontos de inflexão adicionais curva tem?
Em cada item, indique as coordenadas x dos pontos de inflexão de f. Dê razões para suas escolhas.(a) Esta curva é o gráfico de f.(b) Esta curva é o gráfico de f ' .(c) Esta curva é o gráfico de f ' '