Enunciado

Nos exercícios de 29 a 34, faça o seguinte: ( a ) resolva a equação para y em termos de x e expresse y como uma ou mais função de x ; ( b )   para cada função obtida em ( a ) determine se a função tem inversa e se tiver, determine o domínio da função inversa; ( c )   use a derivação implícita para encontrar d y d x e d x d y e determine os valores de x e y para os quais d y d x e d x d y são recíprocos.

30 )   x 2 - 4 y 2 = 16

Passo 1

( a ) Resolvendo a equação para y teremos:

x 2 = 16 + 4 y 2

y = ± x 2 - 16 4

Ou seja, ficamos com duas funções diferentes! Vamos nomeá-las:

y 1 = x 2 - 16 2

y 2 = - x 2 - 16 2

Passo 2

( b ) Vamos analisar essas funções para vermos se há ou não uma inversa. Lembrado que para existir inversa a função precisa ser injetora e sobrejetora ao mesmo tempo, ou seja, bijetora!

Para saber se f é injetora tentaremos provar que para f x 1 =   f ( x 2 ) implica em x 1 = x 2 . Agora vamos aplicar esta ideia:

Neste caso note que a função não será injetora pois ela é uma função par! Veja abaixo:

- x 2 - 16 2 = x 2 - 16 2

Ou seja,

y 1 - x = y 1 x

Logo y 1 não possui inversa

Passo 3

Note também que o foi visto para y 1   também se aplica a y 2 :

- - x 2 - 16 2 = - - x 2 - 16 2

Ou seja,

y 2 - x = y 2 x

Passo 4

( c ) Derivando implicitamente em função de x :

x 2 - 4 y 2 = 16  

2 x - 8 y d y d x = 0

Isolando d y d x teremos:

d y d x = x 4 y

Agora derivando implicitamente em função de y :

x 2 - 4 y 2 = 1 6

2 x d x d y - 8 y = 0

Isolando d x d y teremos:

d x d y = 4 y x

Resposta

( a )   y 1 = x 2 - 16 2 e y 2 = - x 2 - 16 2

( b ) y 1 e y 2 não possuem inversa.

( c ) d y d x = x 4 y e d x d y = 4 y x

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