Enunciado

Nos exercícios de 1 a 29 encontrar a área da região limitada pelas curvas dadas.

y = cos ⁡ x ,   y = - 3 5 π x + 3 10 ,   x ∈ π 2 , 4 π 3

Passo 1

Devemos começar as questões que pedem para calcularmos a área de uma região sempre pelo esboço dessa região. Se não esboçarmos ele, não conseguiremos compreender a integral que devemos calcular. Sendo assim, vejamos a região abaixo:

Como esta região é limitada acima e abaixo por uma curva, a área é dada pela seguinte integral:

A = ∫ π / 2 4 π / 3 - 3 5 π x + 3 10 - cos ⁡ x d x

Passo 2

Agora que conseguimos escrever a integral que nos dá a área, só nos resta calculá-la. Portanto, temos:

∫ π / 2 4 π / 3 - 3 5 π x + 3 10 - cos ⁡ x d x

- 3 10 π x 2 + 3 10 x - sen ⁡ x π / 2 4 π / 3

- 16 π 30 + 4 π 10 + 3 2 - - 3 π 40 + 3 π 20 - 1

3 2 - 5 π 24 + 1

Portanto, a área da nossa região é:

A = 3 2 - 5 π 24 + 1 u . a .

Resposta

A = 3 2 - 5 π 24 + 1 u . a .

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