Enunciado

Se x - for a coordenada x do centroide da região que fica sob o gráfico de uma função contínua f , onde a ≤ x ≤ b , mostre que

∫ a b c x + d f x d x = c x - + d ∫ a b f x d x

Passo 1

Bom galera, nesse exercício queremos mostrar a igualdade apresentada. Para isso, utilizaremos a definição de centroide.

Passo 2

Podemos separar a integral em duas integrais

∫ a b c x + d f x d x = ∫ a b c x f x d x + ∫ a b d f x d x

Colocando as constantes para fora da integral, temos

∫ a b c x f x d x + ∫ a b d f x d x = c ∫ a b x f x d x + d ∫ a b f x d x

Passo 3

Pela definição da coordenada x do centroide, sabemos que

∫ a b x f x d x = x - A

Dessa forma

c ∫ a b x f x d x + d ∫ a b f x d x = c x - A + d ∫ a b f x d x

Por definição também, sabemos que

A = ∫ a b f x d x

Assim

c x - A + d ∫ a b f x d x = c x - ∫ a b f x d x + d ∫ a b f x d x

Dessa forma, podemos escrever

c x - ∫ a b f x d x + d ∫ a b f x d x = ( c x - + d ) ∫ a b f x d x

Resposta

Como queremos provar,

∫ a b c x + d f x d x = c x - + d ∫ a b f x d x

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Os caros de corrida dirigidos por Cristina e Laís estão lado a lado na lagada de uma corrida. A tabela mostra as velocidades de cada carro (em milhas por hora) durante os primeiros 10s de corrida. Use
Encontre a área da região hachurada
Encontre a área da região hachurada
Esboce a região delimitada pelas curvas fornecidas e indique sua área y = x 1 + x 2 , y = x 2 1 + x 3
Esboce a região delimitada pelas curvas fornecidas e indique sua área y = x 1 + x 2 , y = x 9 - x 2 ,x ≥ 0