Enunciado

Uma piscina tem 20 pés de largura por 40 pés de comprimento, 3 pés de profundidade na parte rasa, e 9 pés na parte mais funda. Uma secção transversal está mostrada na figura. Se a piscina for preenchida a uma taxa de 0,8 pés/min, quão rápido estará subindo o nível da água quando a sua profundidade no ponto mais profundo for de 5 pés?

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você??Vamos analisar o que nosso probleminha está falando. Bom, ele nos diz que essa piscina tem esse formato doidão e que está enchendo tudo com água até 5 polegadas de profundidade da parte mais baixa a uma taxa de 0,8 pés/min, e nos pede a velocidade que a piscina está enchendo. Viu, nem é tão difícil assim. Eaii, partiu??

Passo 2

Nosso primeiro passo vai ser achar o volume:

V = ( b + 12 ) h 2 0 2

V = 10 b + 12 h

Agora, por semelhança de triângulos, teremos:

x h = 6 6

y h = 16 6

Onde x é a posição da parede da esquerda até a parte mais baixa, y é do final da parte mais funda até a parede da direita e h é a altura da base b.

b = x + 12 + y = 12 + 11 h 3

V = 240 h + 110 h 2 3

Passo 3

Com o nosso volume já achado, vamos encontrar agora a taxa de variação dele através da derivada direta.

0,8 = d V d t = 240 + 220 h 3 d h d t

Para 5 pés, temos:

d h d t = 0,8 240 + 5 ( 220 3 ) = 0,00132   p é s / m i n

Resposta

d h d t = 0,00132   p é s / m i n

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